Квадрат Девяти

[syphax]

robi 11 yes  thanks 135    a typo

[syphax]

i share something i dont know if someone has already posted .
how to find how many degrees and how many laps  between any two numbers on the sq9 ?
there are only two distances between two numbers regaldless how many digits we take

я делюсь чем-то, что я не знаю, если кто-то уже писал
Как узнать, сколько градусов и сколько кругов между любыми двумя числами на sq9?
Есть только два расстояния между двумя числами, независимо от того, сколько цифр мы берем

example , 10853  and 13456
odd, sqrt 10853/2=52.08 ,  sqrt 13456/2=58
               58-52.08=5.92 laps  we take the remainder 0.92*360 = 331°
even, sqrt 1085/2=16.46  ,  sqrt1345/2=18.33
               16.46-18.33=1.87 laps    0.87*360= 315°

[robi11]

...
Разброс, конечно, как у дроби на утку  Но ведь это в данном случае не главное, верно? 

Признаться,  думал, что нашел метод, которым пользуется Виктор (Ferro) здесь и здесь - ан нет, не то пальто...
Не главное..?!  Ну не знаю... хотелось бы, конечно, белке в глаз! 
Вообще, пришел к этому методу, пытаясь с помощью кв9 вычислять корень из числа через циклы. В итоге уперся в определение градуса числа.

[palvir]

2Синоптик. " в чем именно уникальность комбинации 8-3." Вы не ошиблись? Эта комбинация никогда не даст цифровой корень( или просто признак делимости на 9) равный 9.

Здравствуйте!

Прошу прощения за упрощение Я в посте устал писать "восьмиугольные центрированные" и "треугольные обычные", поэтому в контексте позволил себе весьма вольное сокращение "8-3".

Поэтому с моей стороны корректно было бы написать так: "Кто не поленится и построит графики (для разных случаев) -- тот увидит, в чем именно уникальность комбинации чисел, порождаемых последовательностями восьмиугольных центрированных чисел, и соответствующей ей последовательностью обыкновенных треугольных чисел".

Судя по вопросу, Вы, возможно, не совсем уловили, что между этими двумя порождающими последовательностями есть математическая связь. А числовой корень мы вычисляем у пары взаимно-однозначных чисел, порождаемых этими двумя последовательностями. И именно для этой пары цифровых корней всегда сохраняется инвариант = 9!

Василий

Возможно, но люблю проверять. Центрованные восьмиугольные числа- это просто квадраты нечётных чисел, формула (2n-1) в кв. Простые треугольные n(n+1)/2. Берём n=5 и получаем 81 и 15, их сумма 96 , цифровой корень 6. Скорее всего вы всё-таки ведете речь о сложении чисел, у которых цифровые корни соответственно 8 и 1; 2 и 7 и т.д.

[Sinoptik]

2Синоптик. " в чем именно уникальность комбинации 8-3." Вы не ошиблись? Эта комбинация никогда не даст цифровой корень( или просто признак делимости на 9) равный 9.

Здравствуйте!

Прошу прощения за упрощение Я в посте устал писать "восьмиугольные центрированные" и "треугольные обычные", поэтому в контексте позволил себе весьма вольное сокращение "8-3".

Поэтому с моей стороны корректно было бы написать так: "Кто не поленится и построит графики (для разных случаев) -- тот увидит, в чем именно уникальность комбинации чисел, порождаемых последовательностями восьмиугольных центрированных чисел, и соответствующей ей последовательностью обыкновенных треугольных чисел".

Судя по вопросу, Вы, возможно, не совсем уловили, что между этими двумя порождающими последовательностями есть математическая связь. А числовой корень мы вычисляем у пары взаимно-однозначных чисел, порождаемых этими двумя последовательностями. И именно для этой пары цифровых корней всегда сохраняется инвариант = 9!

Василий

Возможно, но люблю проверять. Центрованные восьмиугольные числа- это просто квадраты нечётных чисел, формула (2n-1) в кв. Простые треугольные n(n+1)/2. Берём n=5 и получаем 81 и 15, их сумма 96 , цифровой корень 6. Скорее всего вы всё-таки ведете речь о сложении чисел, у которых цифровые корни соответственно 8 и 1; 2 и 7 и т.д.

Здравствуйте!

palvir (не знаю, как Вас зовут, к сожалению)! Я понимаю, что хочется понять быстро, все и сразу. Но Вы снова не уловили мысль.

Причем даже не мою. Я не поленился, и несколько раз развернуто написал специально для тех, кто не знаком с фигурными числами, о наличие математической взаимосвязи между центрированными и обыкновенными фигурными числами.
Повторю свои слова еще раз (Бог любит троицу):

"Но как хорошо известно, центрированные фигурные числа имеют прочную математическую связь с обычными треугольными фигурными числами (теми самыми, которые растут по гномону). И мы имеем взаимно-однозначную связь двух последовательностей: центрированных фиг-чисел и обыкновенных треугольных фиг-чисел."

"Судя по вопросу, Вы, возможно, не совсем уловили, что между этими двумя порождающими последовательностями есть математическая связь"

Этому знанию уже несколько тысяч лет, и информации на эту тему море. Любой Google выдаст вам множество ссылок на эту тему. Например такую:
https://licht.ovh/tonen/tab/ru/%D0%A4%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/95ce55f98730664f74798b4c439535b56298b241

Поэтому, если любите тщательно проверять правильность -- то полюбите так же тщательно изучать то, что Вы собираетесь проверять
И да, формула связи двух последовательностей на картинке!!!

А в приведенном Вами примере стоит сравнивать корни чисел 81 и 10 1/8: 9 = 9. Все точно!

Василий

P.S. Хочется в очередной раз удивиться и восхититься терпением и железной выдержкой Виктора Ferro, который на протяжении 10 лет отвечает на одни и те же вопросы И да простят меня форумчане за очередной сарказм, но "Тщательнее надо, тщательней" (с)

[palvir]

Поэтому, если любите тщательно проверять правильность -- то полюбите так же тщательно изучать то, что Вы собираетесь проверять
И да, формула связи двух последовательностей на картинке!!!

А в приведенном Вами примере стоит сравнивать корни чисел 81 и 10 1/8: 9 = 9. Все точно!

2Синоптик- всё это я видел, но зачем и к чему это? Не важно, это ваше дело и время. Но из последнего скопированного вашего предложения делаю вывод, что ответ Свореша вы не поняли. Этот цифровой корень - это просто остаток от деления на 9, т.е. если он 9 - то и число делится без остатка на 9. Отсюда ничего удивительного, что сумма чисел с ЦК 8 и 1 и т.д будет делится на 9( т.е. иметь ЦК= 9).

[Sinoptik]

Поэтому, если любите тщательно проверять правильность -- то полюбите так же тщательно изучать то, что Вы собираетесь проверять
И да, формула связи двух последовательностей на картинке!!!

А в приведенном Вами примере стоит сравнивать корни чисел 81 и 10 1/8: 9 = 9. Все точно!

2Синоптик- всё это я видел, но зачем и к чему это? Не важно, это ваше дело и время. Но из последнего скопированного вашего предложения делаю вывод, что ответ Свореша вы не поняли. Этот цифровой корень - это просто остаток от деления на 9, т.е. если он 9 - то и число делится без остатка на 9. Отсюда ничего удивительного, что сумма чисел с ЦК 8 и 1 и т.д будет делится на 9( т.е. иметь ЦК= 9).

Уважаемый palvir (не знаю, как Вас зовут, к сожалению)!

Просто проигнорируйте все мои сообщения, если Вы не видите в них смысла, и все
Вы смотрите на поверхность айсберга, и упорно не хотите заглянуть под воду. А там, оказывается, еще 80% плавает.

Если слон вдруг родит ежа, все скажут что это противоестественно. Но если слон родит слона, то все скажут что это естественно, нормально, так и должно быть, т.е. находится в согласии с природой.
Я считаю важным подмечать такие натуральные случаи. И если одна парабола порождает другую параболу, то для меня это признак "естественности" данного процесса.

Как я написал выше, я никого не хочу ни в чем убеждать. Принимать или не принимать, соглашаться или нет с моей точкой зрения -- дело сугубо индивидуальное.
Но разводить бессмысленную дискуссию о нужности или ненужности какого-то сообщения на форуме у меня нет никакого желания. Будут конкретные вопросы -- спрашивайте. Конкретных вопросов нет -- живем дальше

Василий

[palvir]

Ну вот, приехали.  Честно пытаешься понять, что же человека так восхищает и что он хочет донести и на тебе. Есть связь м-ду фигурными числами? Есть. Вообще м-ду любыми числами она есть, чего только и каких только связей математики за 3000 лет не придумали. Но как пример вы ведь только ЦК демонстрируете. 81 поделили на 8. А почему бы 121 или 169 не поделить, это ведь тоже центрованные 8-угольные числа? И как формулы связей фигурных чисел соотносятся с ЦК? 

[Sinoptik]

Ну вот, приехали.  Честно пытаешься понять, что же человека так восхищает и что он хочет донести и на тебе. Есть связь м-ду фигурными числами? Есть. Вообще м-ду любыми числами она есть, чего только и каких только связей математики за 3000 лет не придумали. Но как пример вы ведь только ЦК демонстрируете. 81 поделили на 8. А почему бы 121 или 169 не поделить, это ведь тоже центрованные 8-угольные числа? И как формулы связей фигурных чисел соотносятся с ЦК?

Еще раз уточняю (а по сути просто повторяю то, что писал ранее, т.е. пложу не информативные сообщения), что же именно вызывает у меня такое восхищение:

"А теперь проследим взаимосвязь цифровых корней чисел, генерируемых обеими последовательностями! В одном-единственном случае, когда центрированное фигурное число -- это центрированное восьмиугольное число, мы имеем замечательный инвариант: сумма цифровых корней двух чисел всегда равна 9! И это есть хорошо
Почему это так? Потому что таковы свойства двух парабол. Кто не поленится и построит графики (для разных случаев) -- тот увидит, в чем именно уникальность комбинации 8-3. А если еще их "покрутить", то окажется что парабола ездит по такой же перевернутой параболе! Ну чем не фрактал? Полное самоподобие."

Можете и 121 поделить и 169. Результат не изменится. 81 это был Ваш пример.
121 = 4, 121 / 8 = 15 1/8 = 5. 4 + 5 = 9.

Вы сконцентрировались на обычной операции деления на 8, но не поняли в чем уникальность 8, и почему именно в случае чисел, генерируемых последовательностью центрированных восьмиугольных чисел работает "простое деление". Во всех других случаях деление уже не работает. Точнее, арифметическое деление то работает. Но инварианта больше нету!

Василий

P.S. Пытаться понять -- это значит поразмыслить, возможно не один день и может быть даже не одну неделю, и не заваливать своими предложениями сравнивать все числа со всеми. В предыдущих сообщениях есть вся информация, которую я хотел донести. Если понять не получается -- значит или наставник хреновый или танцор. Выберите, что считаете нужным и закройте для себя эту тему.
А если действительно хотите понять -- то думайте, читайте, перечитывайте и экспериментируйте с карандашом, бумагой и программой по построению графиков.

P.P.S. Еще раз для всех, чтобы закончить дискуссию, ведущую в никуда. Я изложил идею. Не с целью кого-то убедить, что я крут и открыл что-то тааааакое сногсшибательное, что просто закачаешься. Это не защита диссертации. Цель была другая: те, кто хотят и умеют думать и анализировать, возможно, смогут почерпнуть для себя что-то новое, и посмотрят на квадрат 9 с несколько иной стороны. Но у меня не было целью читать тут курсы математики.
В теории музыки, например, я не силен, про мелодию могу сказать только два слова: нравится или не нравится. И даже не пытаюсь оценивать музыкальные композиции с позиции теории музыки. Это мой выбор -- я просто не лезу в ту область, которая кажется для меня непостижимой. Я просто слушаю музыку.

[palvir]

Ясно. Но объясняется это также просто. Ещё раз - ЦК- это остаток от деления числа на девять. Следовательно любое число можно записать как 9*Х + ЦК, где Х - целое. Теперь делим на 8(лучше использовать простую дробь, не десятичную), складываем вместе и выносим 9 за скобки, т.е. такие числа делятся на 9, следовательно их ЦК равны 9. Или уж совсем просто Х+Х/8=9Х/8

[Svoresh]

...
Разброс, конечно, как у дроби на утку  Но ведь это в данном случае не главное, верно? 

Признаться,  думал, что нашел метод, которым пользуется Виктор (Ferro) здесь и здесь - ан нет, не то пальто...
Не главное..?!  Ну не знаю... хотелось бы, конечно, белке в глаз! 
Вообще, пришел к этому методу, пытаясь с помощью кв9 вычислять корень из числа через циклы. В итоге уперся определение градуса числа.

   Доброго времени, Роберт!

   Белке в глаз можно попасть, если выбрать правильный заряд и иметь нужный навык 
   Получение корня из цикла вещь доступная. Рассмотрим её по шагам, с уточнением условий.
   
   1. У нас перед глазами только Квадрат. Мы знаем, что каждый цикл заканчивается на соответствующем квадрате нечётного числа. Расчёт этого числа через номер цикла:
   

Even = 2C_n
   Odd = 2C_n + 1 ,
   где C_n - это номер цикла
   

   Например, цикл №3 заканчивается квадратом 7 (2*3+1) и включает квадрат 6 (2*3). В действительности для некоторых расчётов нам потребуется нечётный квадрат предыдущего цикла, поэтому просто уменьшаем номер цикла на единицу, когда это требуется.
 
   2. Количество ячеек в цикле кратно восьми, но количество от одного квадрата до другого разное:
   

ToEven = 4C_n - 1
   ToOdd = 4C_n + 1
   

   Например, в цикле №5 до чётного квадрата, включительно, будет 19 ячеек (4*5-1), а до завершающего нечётного  - 21 ячейка (4*5+1).

   3. Для определения приблизительного значения корня берём ближайший меньший корень и к нему прибавляем дробь из номера ячейки в "полуцикле" между квадратами, деленного на количество ячеек от меньшего корня к большему.
   Рассмотрим пару примеров.
   N = 76.
   C_n = 4.
   Odd_n = 2*4+1 = 9 (81). Even_n = 2*4 = 8 (64).
   ToOdd = 4*4+1 = 17.
   Sq ~ Even_n + (N - Even_n²)/ToOdd = 8 + 12/17 или 8.706. Реальный корень равен 8.718.

   N = 128.
   C_n = 6.
   Odd_n-1 = 2*(6-1)+1 = 11 (121). Even_n = 2*6 = 12 (144).
   ToEven = 4*6-1 = 23.
   Sq ~ Odd_n-1 + (N - Odd_n-1²)/ToEven = 11 + 7/23 или 11.304. Реальный корень равен 11.314.

   Это к тому, что Вы пытались сделать изначально, т.е. найти корень числа через цикл на Квадрате. Может быть, данные расчёты натолкнут на какие-нибудь мысли по поиску более точного метода определения градуса числа    если так хочется вывести нечто самому.

   Успехов!

   с уважением,
  Сергей

   з.ы.
   Василий (Sinoptik), рад, что общий язык и общность взглядов находятся!
   Остап (ORE), перед тем, как постить, лучше напоминать себе, что трезвость - норма жизни!  Спасибо за поддержку. И вопросы взял на заметку.

[robi11]

Всем привет!

Спасибо, Сергей за разъяснения!

...
   3. Для определения приблизительного значения корня берём ближайший меньший корень и к нему прибавляем дробь из номера ячейки в "полуцикле" между квадратами, деленного на количество ячеек от меньшего корня к большему.
 ...

Изначально я подошел к вопросу о нахождении корня с позиции того, что мы не умеем ни возводить в квадрат, ни, тем более, извлекать корень. И, если учесть это неумение, то можно к дробной части добавить либо 2C_n, либо 2C_n-1, в зависимости от положения числа на кв9.

...
Может быть, данные расчёты натолкнут на какие-нибудь мысли по поиску более точного метода определения градуса числа 
...

Более точные, чем здесь?
Если да, то да  Там, всего то лишь, остается умножить на 180, ну и, если необходимо, прибавить 135 или вычесть 45 
А можно и еще точнее, но тогда нужно прикрутить Архимедову спираль, про которую недавно упомянул Василий (Sinoptik) 

[Svoresh]

Всем привет!

Спасибо, Сергей за разъяснения!

...
   3. Для определения приблизительного значения корня берём ближайший меньший корень и к нему прибавляем дробь из номера ячейки в "полуцикле" между квадратами, деленного на количество ячеек от меньшего корня к большему.
 ...

Изначально я подошел к вопросу о нахождении корня с позиции того, что мы не умеем ни возводить в квадрат, ни, тем более, извлекать корень. И, если учесть это неумение, то можно к дробной части добавить либо 2C_n, либо 2C_n-1, в зависимости от положения числа на кв9.

...
Может быть, данные расчёты натолкнут на какие-нибудь мысли по поиску более точного метода определения градуса числа 
...

Более точные, чем здесь?
Если да, то да  Там, всего то лишь, остается умножить на 180, ну и, если необходимо, прибавить 135 или вычесть 45 
А можно и еще точнее, но тогда нужно прикрутить Архимедову спираль, про которую недавно упомянул Василий (Sinoptik) 

   Доброго времени, Роберт!

   Не понял, к чему про неумение... Скорее задача всё-таки была в том, что нужно извлечь корень из числа без привычного нам калькулятора. Приведённый пример продемонстрировал, как можно достаточно быстро получить результат с минимальными усилиями, если у Вас есть под рукой Квадрат Девяти.

   В отношении вычисления градуса числа задача будет отличаться.
   В этом случае предполагается, что самого Квадрата у нас под рукой нет - иначе задача сводилась бы к правильному расположению (начертанию) оверлеев, - но заложенные в нём структуру и математические принципы мы хорошо знаем. А ещё мы отлично знаем про фигурные числа, в частности речь о треугольных, и как получать их корни.
   Итак, по порядку.

   Задача: есть число (NUM), градус которого нужно найти.
   
   1. Нужно определить цикл Квадрата, в котором это число расположено.
   Мы знаем, что каждый цикл содержит количество восьмёрок кратное номеру цикла. Принимаем стартовую единицу за нулевой цикл, а далее в следующем порядке:
   №1 (2-9) - 8 х 1
   №2 (10-25) - 8 х 2
   №3 (26-49) - 8 х 3 и т.д.
   Эта последовательность говорит нам о том, что количество восьмёрок от первого цикла до цикла C_n будет равно треугольнику номера цикла, который заканчивается числом, вычисляемым по следующей формуле:   

Tr_n х 8 + 1     (1)

   Например, цикл №5 заканчивается значением Tr₅ х 8 + 1 = (5 х (5+1)) / 2 х 8 + 1 = 121.
   К слову, эта формула выступает как ещё один аргумент к недавней дискуссии о стартовой единице как цикле и градусе, на котором она располагается, если принять соответствующую логику. Смотреть также комментарии во втором этапе.
   Как на основе представленной формулы получить цикл, в котором расположено число? Надеюсь, это вполне очевидно, исходя из формулы (1). Для начала определяем значение треугольника:

Tr ~ (NUM - 1) / 8     (2)

   После чего вычисляем корень треугольника, который укажет нам номер цикла, в котором расположено число:

(Tr x 2 + 0,25)^0.5 - 0,5      (3)

   Формулы (2) и (3) объединяются в одну и, с небольшими дополнениями, дают нам полноценный результат в виде номера цикла:

Truncate(((NUM - 1) / 4)^0.5 - 0.5) + 1     (4)

   Таким образом, первый этап нашей задачи решён с успехом.

   2. Вычислить градус числа, используя номер цикла, в котором оно располагается на Квадрате Девяти.
   Здесь полное описание вывода конечной формулы приводить не буду, т.к. это больше относится к навыку объединения и сокращения, но некоторые комментарии всё-таки сделаю. Итак, заключительный расчет выглядит следующим образом:

(135 + C_n x 180 + (NUM - 1) x 45 / C_n) % 360, где C_n > 0     (5)

   
   Если мы возьмем полное значение (без сокращения, % 360), то перед нами будет количество градусов пройденное по спирали от стартовой единицы, которая принимается расположенной на 315 градусе. Вычислить это значение для единицы по формуле мы не можем в связи с указанным ограничением, но последующие расчёты по факту поддерживают это априорное предположение. Для примера рассмотрим несколько нечётных квадратов:
   а. NUM = 9 >> Degrees = 135 + 1 x 180 + (9 - 1) x 45 / 1 = 675 >> % 360 = 315.
   b. NUM = 49 >> Degrees = 135 + 4 x 180 + (49 - 1) x 45 / 4 = 1395 >> % 360 = 315.

   Собственно, это ещё один вариант расчёта градуса числа в дополнение к приведённому ранее. Следует также уточнить, что это поиск градуса математическим путём (подробнее по ссылке). Также к указанному посту прикреплена утилита для расчётов по Квадрату Девяти.

   с уважением,
  Сергей

[palvir]

Как сложно. Кв9 состоит из циклов м-ду нечётными квадратами. Берем число 1257, корень больше 35. По Роби получаем угол 36,75. Раз корень больше 35, то мы в цикле м-ду 37 и 35. Номер цикла (37-1)/2 +1 = 19 ( для чёта +1 не нужно, т.е. 18) Количество ячеек по ф-ле (a-b)*(a+b). Имеем 2*(37+35)=144. ( Таким же образом можно считать число ячеек м-ду нечет- чет и т.д, просто складывая корни. В нашем случае 35+36=71 и 73). Градусный "вес" ячейки 360/144=2,5. 35 в кв- 1225; (1257-1225)*2,5 -45 =35 Прибавим 1/2 "веса" ячейки -36,3 Транспортир дает 38. Формула Роби замечательна, особенно для больших чисел, где рост параболы условно можно считать линейным.

[Svoresh]

Как сложно. Кв9 состоит из циклов м-ду нечётными квадратами. Берем число 1257, корень больше 35. По Роби получаем угол 36,75. Раз корень больше 35, то мы в цикле м-ду 37 и 35. Номер цикла (37-1)/2 +1 = 19 ( для чёта +1 не нужно, т.е. 18) Количество ячеек по ф-ле (a-b)*(a+b). Имеем 2*(37+35)=144. ( Таким же образом можно считать число ячеек м-ду нечет- чет и т.д, просто складывая корни. В нашем случае 35+36=71 и 73). Градусный "вес" ячейки 360/144=2,5. 35 в кв- 1225; (1257-1225)*2,5 -45 =35 Прибавим 1/2 "веса" ячейки -36,3 Транспортир дает 38. Формула Роби замечательна, особенно для больших чисел, где рост параболы условно можно считать линейным.

   Доброго времени, palvir!

   Если для Вас сложно применить две формулы, то, конечно, пользуйтесь другими методами. Только теперь представьте весь описанный Вами расчёт в виде последовательных операций или машинных команд. Сколько встретиться на пути условных операторов? Это не плохо! Это наша человеческая логика рассуждения. И такой подход прекрасно работает, когда надо быстро и непринужденно получить некий результат, как говорится, на коленке.
   Но когда есть задача иметь одинаково точный результат на любых значениях, а не только на "больших числах", и нужен компактный алгоритм, а не серия ветвлений типа "if-else", - то выбор будет очевидным. Скорее всего Вы никогда не сталкивались с программированием алгоритмов и их оптимизацией, поэтому Вам две (!!!) формулы показались очень сложными, в отличие от приведённого дерева  решений.

   Каждый выбирает то, что ему понятнее и комфортнее в применении.

   с уважением,
  Сергей