Читаем вместе on-line

[tilimili]

D. НАМЕКИ АНТИЧНОСТИ

D1. Фи-серии, Прямоугольники и проблемы поля

На данном этапе может быть полезным проследить некоторые шаги, предпринятые до сих пор. Согласно вывода, сделанного в разделе 3, наиболее недавний шаг был  вытекающим определением связанной пары средних пропорциональных (Фи^-1 и Фи¹) с использованием проверенной древней методологии, относящейся к  практической проблеме, касающейся площади, длины и ширины прямоугольного поля (детали см. Historical Digression I, Spira Solaris Part III).
Проблема Поля была, по видимости, общей, площадь поля и разница между двумя известными сторонами, с парой сторон, которые определялись. Однако, в отдельном случае, когда разница между длиной и шириной, и также площадь была единицей решение сводилось к квадратному уравнению k² – k - 1=0, формуле, идентичной той, что первоначально применялась для определения константы линейности для Солнечной Системы ( см. часть 3). Результирующая длина и ширина прямоугольника, таким образом, при площади равной единице, сводилась к Фи и его обратному значению, то есть Фи^-1 х Фи¹=0.618033989 x 1.618033989 = 1. Более того, включение единицы (снова как неотъемлемой части первоначальной проблемы) также дает последовательность Фи-серии: Фи^-1, Фи⁰, Фи¹, так что три последовательных периода  в экспоненциальной планетарной структуре в 0.618033989 лет, 1 год и 1.618033989, соотносятся со средними периодам Венеры, Земли и Марса, соответственно. Более того, с Землей, занимающей синодическое положение между другими двумя планетами, предпосылки положения, уже  обозначенного для Земли, также были сохранены.
В последнем применении, однако, k=Фи==1.6180339887949 был фактором, на который возрастали средние периоды для последовательности планета-синодическое положение –планета, тогда как постоянная для роста планетарных периодов была Фи², таким образом последняя постоянная, в конечном итоге, обеспечивает параметры для равноугольной спирали с фактором роста в 2.618033989 (Фи²) за оборот. Здесь произошло дальнейшее подобие с проблемой Поля, для соотношения между длиной и шириной также  имела место последняя константа, как впрочем, был квадрат длины (см. ниже  ре «квадратура» и прямоугольники).
Это затем послужило основой для Спира Солярис, «периодной» спирали включающей все, с преобладанием времени над расстоянием и скоростью, но со всеми тремя параметрами, также присущими окончательной планетарной структуре, как было отмечено выше. Тем не менее, это было Время, прежде чем все остальное, и над всем остальным, и также Время в древнем смысле:

«ВРЕМЯ: Вечное и Бесконечное, Молодое и Старое, Спиральной формы» (Халдейские Оракулы)

[tilimili]

Цитата, приведенная выше, и прямоугольное происхождение Фи могут быть под сомнением  в точных астрономических контекстах, предполагаемых здесь. Но, несмотря на многочисленные  комментарии ученых, как в прошлом, так и в настоящем, во многих древних произведениях по-прежнему остаются фундаментальные неясности. И  в случае Платона также. Особенно, как отмечал Бенджамин Джоветт: «неясности возникают из нашего желания  ближе познакомиться с предметом», поскольку желание познакомиться вряд ли ограничено этим единственным источником. Есть множество других источников, и соответственно, трудности возникают из-за большого объема доступного материала с одной стороны, и чрезмерного количества базовых знаний для его усвоения, с другой. Термин за термином, определение за определением, концепция на концепции, некоторые из которых вполне могли быть поданы «обзорно, и таким образом быть недоступными для простого человека», все должны быть тщательно рассмотрены, например, следующее обсуждение Аристотеля, который говорит:

для окончательной формулы недостаточно, выразить главным образом сам факт; она также должна включать и представление обоснования. В настоящее время определения даны в форме, аналогичной заключению силлогизма, например: Что такое квадратура? Построение равностороннего прямоугольника равного данному продолговатому прямоугольнику. Такое определение по форме эквивалентно заключению. Тот, кто говорит нам, что квадратура - это открытие отрезка, который является средним пропорциональным между двумя неравными сторонами данного прямоугольника, раскрывает основу того, что определяется.  (Аристотель. О душе - Aristotle, On the Soul, Bk II, Chap. 2, 413a, trans. J. A. Smith)

Построение  «равностороннего прямоугольника» это просто построение квадрата, и в целом, этого наверняка хватило бы. Более того, будут ли  ссылки на отрезок и «среднее пропорциональное» действительно предполагаться в общем определении квадратуры?
В то время как три последовательные величины для Фи-серий, легко получены из проблемы Поля, и этот ключевой шаг уже был сделан, чтобы сказать, что все три последовательные величины являются всем, что требуется, чтобы развернуть не только полную Серию, но в итоге, и все ее многогранные и всевключающие  числовые качества. Таким образом, здесь и возможно, в другом месте «основание того, что определяется»  может не быть столь же простым, как могли бы полагать непосвященные и/или случайные читатели.

[tilimili]

Относительно применения к структуре Солнечной Системы, данный фокус, возможно неожиданно, проливает некоторый свет на возможное определение этого аспекта и также Гармонического Закона –  последнего из параметров двух внутренних планет и/или их соответствующих величин, в  планетарной структуре, основанной на Фи. В любом случае, даже без компонента скорости две внутренние планеты Меркурий и Венера, несомненно, были связаны в античности в том, что может рассматриваться как связанные факты, то есть зафиксировано, что:

Симпликий в своем комментарии ко второй книге Аристотеля «О небе» отмечает, что Пифагор и его последователи утверждали, что слышали Музыку Сфер, что слышали гармонический звук, производимый движением планет, и из этого звука рассчитали числами  соотношение расстояний и размеров Солнца, Луны, Венеры и Меркурия (В. Вин Уэскотт «Числа, их оккультная сила и мистические добродетели»  W. Wyn Westcott, Numbers, Their Occult Power and Mystic Virtues, Sun Books, Santa Fe, 1983:20-21).

Таким образом, по-видимому,  были рассчитаны как «расстояния», так и «размеры» не только для Солнца и Луны, но также Венеры и Меркурия. Но почему эти две внутренние планеты в частности? Можно только теоретизировать (или принимать во внимание, «что определено»). Но с фундаментальными единицами времени, представленными Солнцем и Луной, из основанной на Фи планетарной структуры можно увидеть, что на самом деле существуют причины, связывающие Венеру и Меркурий в вышеприведенном контексте. То есть, при рассмотрении только этой пары планет, параметр Фи^-2=0.38196611 не только проявляется как среднее расстояние Меркурия, он также встречается как средний период для цикла синодической разницы между двумя рассматриваемыми планетами. Поэтому, из таблицы 5а, синодический период Меркурия-Венеры Фи^-2 = среднему расстоянию Меркурия с последним, также легко получаемым из (Фи^-3)^2/3=Фи^-2 и т.д.

Все это конечно достаточно легко проделать задним числом, но был ли сделан любой такой вывод в прошлом? Представляется возможным, особенно, если принять в расчет, следующие отдельные комментарии Проклуса к «Тимею» Платона. Здесь также заслуживает внимания тот факт, что требуется определенная работа ума, (аспект, на котором постоянно делалось ударение, во многих связанных отрывках выше). Правда, равенство смешивает периоды с расстояниями, но последнее вытекают из первого, и из этого может также  вытекать сам Гармонический Закон, то есть с периодом Меркурия:

Проклус дальше отмечает, что зеркало считалось древними теологами символом пригодности вселенной быть наполненной интеллектуальным озарением. Таким образом, говорит он, они говорят, что Вулкан сделал зеркало, глядя в которое и видя свой образ, Бог перешел в целое из отдельных частей созидания. И вы можете сказать, что гладкость внешней поверхности вселенной, которая упоминалась Платоном, напоминает нам вышеупомянутый отражательный аппарат.
__________
«Тимей» (греч. ?) — один из важнейших трактатов Платона в форме диалога, посвящённый космологии, физике и биологии и написанный около 360 года до н. э.

[tilimili]

D2. Пифагор и Логос

Определенно, как только первоначальный шаг в направлении Фи-серии предпринят, можно приступить к «целому из отдельных частей созидания», но есть дальнейшая часть головоломки, которая будет включена, постоянная Фи^-2= 0.381966011, которая в дополнение  к двум уже упомянутым распределениям также проявляется как (или отражается в)  синодическая скорость синодического цикла Юпитера-Сатурна. Здесь, с включением скорости, вопрос снова становится более сложным, но с технической точки зрения, даже операции, включающие дробные степени не так сложны, как могут показаться (см. ниже). В любом случае, предыдущий интерес к скорости как таковой,  это не то, что легко можно пропустить. Несмотря на сильные ораторские традиции Пифагорейской школы, тем не менее, позже было записано, что Пифагор сформулировал свою инструкцию последователям:

два больших деления – наука чисел и теория звездных величин. Первое делится на два направления, арифметика и музыкальная гармония; последняя в дальнейшем разделилась на рассмотрение звездных величин (magnitude) в покое – геометрию, и звездных величин в движении – астрономию ( И. Вескотт « Числа, их Оккультная сила и Мистические добродетели» W. Wyn Westcott, Numbers, Their Occult Power and Mystic Virtues, Sun Books, Santa Fe, 1983:14; emphases supplied)

Но даже с конкретными указаниями и ссылками все еще остается много трудностей, не в последнюю очередь  из-за более широких последствий, которые вытекают из острой наблюдательности Френсиса Макдональда  Конфорда относительно «Тимея» Платона, то есть, что одна эта работа «охватывает огромное поле за счет сжатия мысли в минимальном пространстве». Так действительно поступают другие современные материалы и источники, не в последнюю очередь, все те, которые касаются базовых принципов Пифагора и обезоруживающе простых групп, которые их сопровождают, особенно  «Тетрактиса». С другой стороны, определенный фокус и вся доступная числовая структура делают возможным рассмотрение незначительных текстовых изменений, которые могли бы быть приукрашены, например, тонкие различия между следующими переводами Пифагорейской клятвы – более короткая первая версия ниже (Kenneth Sylvain Guthrie, 1988:312), которая, возможно, лучше известна.

Пифагор говорил, что священный Тетрактис - это: «источник, имеющей корни  вечно текущей природы»

тогда как содержание второй версии, которую приводит Берджес (1876:153)  дает прямую связь между Тетрактисом и «Душой»:

Моим Тетрактисом, который стал источником Души,
Источником, который питает корни вечно текущей Природы

Цитата является точной, так как взята из родительской публикации.  Значение «Души» в этом контексте, однако, расширено дальше, в продолжение первой цитаты, которая является одновременно простой, но точной:

Пифагор говорил, что священный Тетрактис - это: «источник, имеющий корни постоянно текущей природы (постоянно меняющегося характера)»…  Четыре части Декады, этого совершенного числа, названы: множество (число), монада, степень и куб.  И их переплетения и смешения в начале роста являются тем, что естественно завершает зарождающееся  множество (число, ритм); когда степень от степени; и куб умножен на куб, это степень куба; и когда куб умножен на куб, куб куба; поэтому все  множества (числа), из которых возникает зарождение того, что происходит, составляют семь: множество (число), монада, степень, куб, степень степени, степень куба, и куб куба (Hippol., Phil,. 2. Dox. 355, Pythagorean Sources & Fragments, Kenneth Sylvan Guthrie, Phanes Press, Grand Rapids, Michigan 1988:312).

Мое примечание:
Я не могу поручиться за точность перевода последней цитаты, мои познания в данной области не позволяют этого сделать.  Перевод многих слов допускает неоднозначность смысла. Синим выделила варианты перевода, или слова. которые вызывают сомнения. А ниже последнее предложение на английском. Может на форуме найдется знаток Пифагора

"the four parts of the Decad, this perfect number, are called number, monad, power and cube. And the interweavings and minglings of these in the origin of growth are what naturally completes nascent number; for when a power of a power; and a cube is multiplied on a cube, it is the power of a cube; and when a cube is multiplied on a cube, the cube of a cube; thus all numbers, from which arise the genesis of what arises, are seven: number, monad, power, cube, power of a power, power of a cube, and cube of a cube. "

-----------
Во вложении текст "Тимея" Платона. Стоит почитать. Интересно.

[tilimili]

________
Монада - греч. – Единый (единственный). В учении Пифагора – единственное, включающее в себя все остальное, Божественное начало, в его нумерологической системе обозначалось цифрами 1 как начало всего, и  9, как включающее в себя все, хотя как философское определение она ближе к понятию бесконечно малой и  бесконечно большой величин. Изображается фигурой Тетрактис. Встречается в западном оккультизме. Также обозначает Бога Отца.]

Тетрактис - Фигура символизирующая Монаду, Божественная Декада Пифагора. Тетрактис– удивительно простой символ, равносторонний треугольник с 10 точками внутри. Несмотря на эту простоту в ней древние сокрыли величайшие законы мироздания, аналогии или подобия, закон дуальности, ритма, вибрации, причинности и их отражения в человеке как микрокосме.
1+2+3+4=10

Тетрактис или Тетрада - cвященное «Четыре», которым клялись Пифагорейцы, и это было их самой обязывающей клятвой. Оно имеет очень мистические и различные значения, Прежде всего, это Единство, или «Единица»; затем это  основное число Четыре - Тетрада, содержащая Декаду или Десять – число совершенства; наконец, оно означает первичную Триаду (или Треугольник), погруженную в божественную Монаду.
Пифагор учил, что всё в природе разделено на три части, и что никто не может стать воистину мудрым, пока он не будет представлять каждую проблему в виде треугольной диаграммы. Он говорил «узрите треугольник, и проблема на две трети решена… Все вещи состоят из трех».
Феон из Смирны утверждал, что десять точек, или Тетрактис Пифагора были символом огромной важности, потому что восприимчивому уму они открывали тайну универсальной природы. Пифагорейцы связывали себя следующей клятвой: «Клянемся именем Того, Кто дал нашим душам Тетрактис, Кто имеет истоки и корни в вечно живой природе».
Плутарх считал, что ничего не может быть поименовано, что не опирается на Тетрактис. Это Причина и Творец всех вещей, постижимый Бог, Творец небесного и чувственного добра. И интерпретирует Тетрактис, который он также называет миром, как равный 36, состоящий из первых четырех нечетных, чисел, сложенных с первыми четырьмя четными числами: 1+3+5+7=16; 2+4+6+8=20; 16+20=36; 3+6=9, а 9 является числом мира, так как соединяя 10 точек Тетрактиса, можно получить 9 маленьких треугольников (см. рис. 9 треугольников). Если пойти дальше, то все цифры сложенные вместе дают: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55; 5+5=10, т.е. 10 точек в Тетрактисе. 

[Svoresh]

   Доброго времени, Елена!

   Спасибо за материалы. Бесценный труд!

   Что касается Пифагора и его учения, то здесь возникает ряд трудностей. Первая и самая основная. Пифагор ничего не писал. В результате возникла пустота, которая заполнилась массой литературы, большая часть которой не имеет ценности в качестве исторического свидетельства об учении самого Пифагора. Она включала в себя сообщения о пифагорейской физике, этике,
политической теории и метафизики; и несколько дюжин трактатов (многие  из которых дошли до наших дней), авторами которых были названы ранние пифагорейцы – хотя все они (за исключением нескольких фрагментов Филолая и Архита) теперь считаются псевдоэпиграфами позднейшего времени
   Вторая трудность состоит в "чистоте" этих самых источников. Очевидно, что авторы выстраивали свои комментарии, преследуя свои личные и политические цели.
   Но все же, несомненно, Платон определяет как наше понимание пифагореизма, так и представление о Пифагоре, отраженное во всем разнообразии того, что о нем написано и помыслено в античности. Особенно важно принятие Платоном нумерологических идей в "Тимее" и "Филебе". По этой причине обратимся именно к Платону.
   Елена уже предложила для ознакомления диалог "Тимей". Добавим к нему "Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона" Теона Смирнского (около II в н.э.) и несколько комментариев А.Ф.Лосева к диалогам Платона.
   Надеюсь, предложенные материалы дадут более глубокое понимание проблематики. Особенно, в контексте темы ветки.
   
   с уважением,
  Сергей

[tilimili]

Сергей, спасибо большое

 С уважением. Елена

Добавлю две статьи про Тетрактис:
!) Статья А. Корнеева с сайта Числонавтика тут:  http://www.numbernautics.ru/content/view/683/30/
2) Статья неизвестного автора во вложении

[tilimili]

D2.1. Совершенные числа

Хотя здесь нет ни места, ни времени для более детальных объяснений, мало сомнений, что приведенную выше информацию можно понять с точки зрения планетарной структуры Фи-серии и самой Спира Солярис. Очевидно также, что этот вопрос может быть определен математическими понятиями, включая то, что является «Совершенным» «Единым» и  «Дружественным», особенно по отношению к набору [1,6] и двунаправленных частей, которые связывают эти два числа с одной стороны, в то же время представляя степени фи-серий, с другой.

Другими словами, строго с математической точки зрения, так как «Совершенные» числа равны сумме их собственных делителей, ни декада ни тетрада, упоминавшиеся выше, не являются совершенными в этом конкретном смысле, даже несмотря на то, что временами этот термин применяется по отношению к обоим этим числам.
Однако, «Совершенные числа подобны добродетелям, из мало» (Вескотт, 1983), и как таковые, они действительно редко встречаются – есть только одно действительно совершенное число между 1 и 10, и это 6 (не 4 или 10), еще одно между 10 и 100 (28), еще одно между 100 и 1000 (496), и  все еще только одно дополнительное совершенное число между 1000 и 10 000 (8128). Таким образом, одно в каждом десятичном интервале 1:100:1000:10000. Действительно, Совершенные числа настолько редки, что для наших целей достаточно ограничиться только первым – это 6. В этой точке, можно нажать на паузу, пока не будут рассмотрены «согласие» и другие вопросы – шаг, который требует возврата к Платоноскому  «Тимею», где  встречаются дальнейшие ссылки на средние пропорции (если не саму Фи-серию), квадраты, кубы, и другие четверки (четыре «элемента»), за которыми следует скрытая, но очевидно относящаяся ссылка на «согласие».

Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет  непрерывная геометрическая пропорция. Ибо, когда из трех чисел - как кубических, так и квадратных - при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство. При этом, если бы телу Вселенной надлежало стать простой плоскостью без глубины, было бы достаточно одного среднего члена для сопряжения его самого с крайними. Однако оно должно было стать твердым по форме, а твердые предметы никогда не сопрягаются одним средним, но всегда двумя.
Поэтому бог поместил между огнем и землей воду и воздух, и сделал их как можно более удаленными, пропорциональными друг другу, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху, и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он связал  вместе строение мира, видимого и осязаемого. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникло Согласие, так, что придя к единству с самом собой, он стал неразрывным для любого другого, кроме лишь того, кто сам его сплотил.

[tilimili]

Добавлю еще один небольшой файлик, в нем можно почитать об основных терминах, которые использовал Пифагор,
и ссылку на книгу Волошинова "Математика и искусство". В ней есть несколько глав, посвященных пифагорейскому учению.

Книга тут  http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000011/index.shtml
Файл во вложении.

 С уважением, Лена

[tilimili]

Уместно отметить, что значения  текстов обязательно зависят от перевода. Версия Джоветта для отрывка приведенного выше, например, заканчивается немного отлично, тем что он заменяет  «согласие» «дружбой», но тем не менее, продолжает  с упоминанием «совершенного целого», тогда как в переводе Корнфорда его нет:

"И в результате этих причин и из таких элементов, которых по количеству четыре, было создано тело вселенной, и было гармонизировано пропорцией, и поэтому имело дух дружбы, и, будучи примиренным  с самим с собой, стало неразрывным  для рук кого-либо другого, кроме создателя.
Теперь создание вместило все от каждого из четырех элементов, так как создатель составил вселенную из всего огня и всей воды и всего воздуха и всей земли, не оставив ни части  от любого из них, ни от их энергии за пределами. Его намерением было, в первую очередь, сделать животное насколько возможно совершенным целым, и из совершенных частей, во-вторых,  оно должно было быть единым, не оставляя остатков, из которых могла бы быть создана другая такая  вселенная".

и снова из перевода Джоветта, больше о деятельности создателя, касающейся «совершенства» и «дружбы».

«он сделал его гладким и ровным, имеющим поверхность в любом направлении равноудаленную от центра, тело полное и совершенное, и сформированное из совершенных тел. И в центре он поместил душу, которую он распространил по всему телу, делая ее также его внешним окружением, и он сделал вселенную кругом, движущимся в круге, единым и одиноким, но в силу своей великолепной способности разговаривать с собой, не нуждавшемся в другой дружбе или знакомстве». (Timaeus 34a-34b, Trans. Benjamin Jowett, The Collected Dialogues of Plato, Princeton University Press, Princeton, 1982: 1165, emphases supplied)

[tilimili]

D2.2. Дружественные числа

________
Дружественные числа — два различных  натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе.
________

В математике термин «дружественный», возможно лучше всего объясняется первой дружественной парой, 220 и 284 – оба числа «дружественны», потому что каждое равно сумме  кратных частей другого. Поэтому 284 равно сумме кратных частей от 220 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284), и 220 равно сумме кратных частей от 284 (1+2+4+71+142=220). Однако, ни одно из этих «дружественных» чисел, кажется, не имеет никакого очевидного отношения к планетарной структуре Фи-серии, но  опять же остается ссылка на единство, которая следует дальше, особенно, утверждение в «Тимее»:

«родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникло Согласие (Amity – согласие, дружелюбие), так, что придя к единству с самом собой, он стал неразрывным для любого другого, кроме лишь того, кто сам его сплотил»

Здесь нужно заметить, что хотя  это редко упоминается (и также не строго соответствует определению термина), «дружелюбие», несомненно, существует между единицей (1) и первым совершенным числом (6). Словом, в то время, как последнее является «Совершенным» числом, оно равно сумме своих составных частей (то есть 1/2 от 6 = 3, 1/3 от 6 = 2, 1/6 от  6 = 1 и 3+2+1=6), единица, в свою очередь, это сумма  дробных частей того же набора, то есть обратных значений, таким образом,  1/2 от 1 =1/2, 1/3 от 1 =1/3, 1/6 от 1 = 1/6 и их сумма в результате дает 1/2+1/3+1/6=1.

Что касается важности набора 1, 2, 3 и совершенного числа 6, этот набор является связующим звеном с арифметической прогрессией, которая дает дальнейший ключ, а именно возможность применения последнего по отношению, как к целым, так и дробным степеням. С точки зрения астрономии, это можно рассматривать применительно к Третьему (или Гармоническому) Закону планетарного движения. Определение средних гелиоцентрических расстояний (R) из средних сидерических периодов (Т), часто дано как экспоненциальное соотношение Т²=R³ с очевидных акцентом на «квадратуре» и «кубатуре» (и также геометрическом и объемном эквивалентах, то есть «квадратах» и «кубах»).  Однако, как описывалось в данной работе, средняя скорость (Vr) также может быть получена из соотношения T²=R³=Vr^-6, что можно упростить дальше, включив обратную скорость (Vi), таким образом, что: T²=R³=Vi⁶. Более подробно, и гелиоцентрическое расстояние (R), и средняя орбитальная скорость (Vr) могут быть получены из среднего периода (Т) (и наоборот) по ряду дополнительных соотношений; первое  - вариант общих соотношений, которые уже давались – будучи, возможно более известными:

Таблица 6d. Соотношения для Периодов, расстояний и скоростей

 

[tilimili]

Средние скорости можно получить прямо из фундаментального соотношения, используя отрицательные дробные степени (соотношения 2 и 3), или более просто из обратного соотношения для обратных скоростей (соотношения 4 и 5), которые являются, конечно, просто кубическими корнями и квадратными корнями.  Тогда как расстояние (R) и Период (Т), в свою очередь легко получить путем возведения в квадрат и куб обратной скорости (Vi), со всеми такими соотношениями, использующими степени 1, 2, 3 в различных комбинациях. Таким образом, почти совершенное дружественное соединение [6, 1] вряд ли является нумерологией, или упрощенной ассоциацией чисел, но скорее легко изучаемым мнемоническим приемом, который содержит определенную сумму информации.
Как далеко во времени распространяется это понимание оценить трудно, но эти соотношения вдвойне важны, потому что так не только гораздо  проще, в описанном выше порядке, получить скорости, это также дополнительно представляет историческую важность.
Здесь напомним, что формулы для скоростей, которые использовались в построении различных планетарных структур в Разделе 3, был получены по Галилею, для которого признанным источником был, в свою очередь, Платон (подробнее см. мою статью «Снаряды, Параболы и Расширения для Скорости Закона Планетарного Движения» http://www.spirasolaris.ca/sbb7b.html, опубликованную в журнале Королевского Астрономического Общества Канады в 1989). Вкратце, положительные дробные степени 1/2 и 1/3, полученные из последнего, играют существенную роль в вычислении, как средних расстояний, так и средних скоростей. В дальнейшем, последний закон также производит компоненты обратных скоростей Фи-серий путем вычисления кубического корня из Периодов, тогда как возведение результата в квадрат, в свою очередь, производит средние расстояния, то есть соотношение 1 выше, но в два отдельных, более простых этапа (соотношения 4 и 6). Наконец, постоянная Фи^1/2 также составляет основу для 90-градусных секторов равноугольного прямоугольника, лежащего в основе построения Спира Солярис.

[tilimili]

Поэтому неудивительно, что эта пара дробей – 1/2 и 1/3, должна была бы иметь историческое значение, как описывает Френсис Макдональд Корнфорд в следующей короткой оценке, связанных с этим вопросов:

«Мы уже увидели, что вся сущность вещей, все основные свойства природы, как верили Пифагорейцы, содержались в тетрактисе из декады, и сейчас очевидно,  что точно, как мы того должны были бы ожидать, «источник вечно текущей природы» содержит периодические движения жизни, развивающейся из единства и возвращающейся к единству снова, в очередном обороте колеса рождения, воплощая фундаментальные представления Диониса о  палингенезии.
Но во всем этом есть нечто большее. Пифагор унаследовал музыку Орфея и доктрину реинкарнации Диониса. От орфиков он также унаследовал доктрину падения души из ее первого совершенного состояния единения с божественным, ее деградацию к темноте этой жизни и преисподней, и ее окончательное восстановление к миру и единству.
Теперь по модели этой доктрины падения души, пифагорейская философия должна придерживаться того, что все сущее происходит из Единицы и возвращается к ней снова, и что только одна Единица совершенна, тогда как многообразие мира видимого тела является мутной средой правдоподобия, в которой единственная правда является полувыявленной и полускрытой, так как божественная душа проявляется в плоти, и еще скрыта ею и размыта.
Существует, таким образом, вынесенное из орфизма, присущее Пифагору представление, не только о первозданном колесе рождения, но и другой аспект  жизненного процесса, который лучше всего описывается как движение из единства ко множественности, и от света  в темноту. Это движение также должно проявляться в природе чисел, и содержаться в тетрактисе.
Пифагор обнаружил его в веренице числовых серий, изучению которых он положил начало, очертив науку чисел. Практически наверняка, это он открыл в музыке соотношения октавы, пятой и четвертой, находящихся в гармонической пропорции 12:8:6. В то время прогрессию, подобную тем, что содержатся в тетрактисе Платоновской мировой души – серии 1:2:4:8 и 1:3:9:27 –  Пифагорейцы называли гармония. Это непрерывная организация, которая связана вместе принципом единства, проходящего через него, а именно логос или соотношение (1/2 или 1/3), который связывает каждый член с предыдущим той же связью. Более того, обе серии исходят из Единицы, которая в арифметике Пифагора сама была не числом, но источником, в котором явно и неявно была собрана целая природа всех чисел.
Когда мы отмечаем дальше, что каждое число есть не только множество, но также одно число, мы можем увидеть, как Пифагор мог бы обнаружить целое движение космической эволюции, содержащееся в веренице серий, в котором Единица  переходит из себя во множественность, все еще не теряя всего своего единства. И возвращение от множества к Единице обеспечивается связью действующих пропорций,  в направлении назад и вперед по всей серии, связывая ее в «гармонию». Таким образом, мы должны понимать, что в доктрине: «Все Небо – это гармония и число», последовательное движение  природы смоделировано на том, что душа, которая падает из своего первоначального состояния единства с божественным, все еще остается связанной с Единой жизнью таинственными связями, и может снова вернуться к ней, очищенная музыкой. (Френсис Макдональд Корнфорд, «От религии к философии. Изучение источников Западной теории», Humanities Press, Atlantic Highlands, 1980:208-210)".

Появление «логоса или соотношения 1/2 или 1/3» (с или без совершенного числа 6) кажется, будет полезным указанием. Оно появляется, например, в финальной главе, касающейся серий Фибоначчи и структуры Солнечной Системы, в «Эссе о Классификации» Луиса Агасиса (1857), и также элегантно вплетено в  анализ Кенона Мосли 1838 спиральной структуры раковины Turritella duplicata. Очевидно, что понимание последнего было признано Дарси Вентвортом Томпсоном, который в свою очередь, обеспечил его более широкое распространение, повторяя анализ в его существенных деталях в «О росте и Форме» (1942). Напоследок также отметим в этой работе, что Кенон Мосли был человеком великих и разносторонних способностей, но об этом подробнее позже.

_______
Палингенезия (от др.-греч. ?? — снова и ? — становление, рождение) - возрождение,  восстановление из старого, преобразование. Философское учение, что мир по истечении известного времени приходит в то самое состояние, в каком он находился при начале этого периода.

Орфики - последователи религиозного течения в Древн. Греции в 8 в« до н. з., связанного о культом Диониса и Деметры. Основание орфизма приписывается полулегендарному поэту Орфизм — мистическое учение в Древней Греции и Фракии, связанное с именем мифического поэта и певца Орфея. Учение носило подчёркнуто эзотерический характер, что сближает его с пифагорейством и элевсинскими мистериями. Орфики верили в воздаяние за гробом (также есть элементы метемпсихоза), бессмертие души («заточённой» в «темницу» тела), раздвоенность человеческой природы на доброе (естество Загрея-Диониса) и злое (естество растерзавших его титанов) начала.

Логос (греч. ??) — термин философии, означающий «слово» (или «предложение», «высказывание», «речь») — в переводе с греческого языка и «мысль» (или «намерение») — в переводе с древнегреческого, а также — причина, повод.
Логос — образ огня. Сравнивается с огнем — медленно возгорает и угасает по определенным законам. Космический логос (слово), говорит греческая философия, «обращается» к людям, которые, даже «услышав», неспособны его понять. В свете космического Логоса мир есть гармоничное целое. Однако обыденное человеческое сознание считает свой частный произвол выше «общего» законопорядка. Внутри этого всеединства «всё течёт», вещи и даже субстанции перетекают друг в друга согласно ритму взаимоперехода и законосообразностью. Но Логос остается равным себе. То есть картина мира, описанная Гераклитом, будучи динамичной, сохраняет стабильность и гармонию. И эта стабильность сохраняется в Логосе.
-----------

[tilimili]

D2.3. Удвоение куба

На этом этапе, вооруженные знаниями, представленнями выше, мы можем вернуться к Архиту и загадочной цитате, которая приводилась ранее, то есть утверждение, что Архит был:
«первым, кто методически применил принципы математики к механике: который перенес органическое движение на геометрические фигуры делением полуцилиндра, в поиске двух значений, которые были бы пропорциональны, чтобы удвоить куб»

В дополнение к тому, что можно было рассматривать как добросовестный подход с точки зрения сечения конуса, в настоящем контексте расширения планетарной структуры фи-серии за пределы Фи², для включения диапазона от Фи³ до Фи⁶, и рассматривая степени, становится возможным «удвоить куб», так что (Фи³)²=Фи⁶  и таким образом, в результате получить два средних пропорциональных в рамках принятых границ (то есть, Фи⁴ и Фи⁵).
 

Таблица 6e. Планетарная структура Фи-серии  от Фи³ до Фи⁶

Что касается величины и значения, начиная с Фи³ и заканчивая Фи⁶[/i], цель этого упражнения была продемонстрировать как Фи-серия могла бы расширяться между планетарными позициями. С той точки зрения, что основой уже является экспоненциальная планетарная структура Фи-серии, и требуется метод получения дальнейших подразделений. Или говоря иначе, как кто-то может добавить (или вставить) больше промежуточных величин, если синодический цикл уже включен?
Здесь мы должны повторить, что хотя средние периоды экспоненциальной планетарной структуры для планет расширяются на Фи² за оборот, полное расширение планета-синодик-планета происходит на квадратный корень последнего, то есть само Фи. Таким образом, отношение степеней было уменьшено вдвое, и могло бы показаться, что  это является ключом ко всему делимому созиданию.
Предположим, что  имеет место дальнейшее сокращение вдвое степеней Фи-серии 1, 2, 3, 4 …, результат является последовательностью 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4;… m.  Для рассматриваемого в настоящий момент диапазона, новый набор становится  таким: 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5, который в настоящий момент приводит к еще двум средним пропорциональным между планетарными положениями, как видно из Таблицы 6f.

Таблица 6f. Второе увеличение структуры Фи-серий от Фи³ до Фи⁶

Действительно, для  получения дополнительных интервалов между положениями планет, деление показателя степени наполовину может повторяться почти до бесконечности. Несмотря на то, что это обезоруживающе просто, на поверку, оказывается, что это продолжающееся деление включает последовательность 1; 1/2; 1/4; 1/8…, которая  фактически является дробными формами удвоенных интервалов Платона: 1, 2, 4, 8  и т.д.
Результирующие таблицы, не являются чем-то страшным, какими они могли бы показаться, так как все, что необходимо для их получения, это понимание последнего, и определение новых множителей для планет, расстояний и также для скоростей, что может затем быть применено к первоначальным планетарным данным. 
Поэтому, для Таблицы 6е, например, последовательные множители – это  1.61803398, 1.37824077 и 1.17398499 соответственно. Тогда как в Таблице 6f  применены их квадратные корни, и так далее, для продолжения «всего делимого созидания». Хотя, как выясняется обратные скорости (особенно третьи и шестые дробные степени), являются первостепенными по значению, как будет показано в дальнейших разделах.
Так как «геометрические фигуры», которые у нас, возможно, уже есть (применимо это здесь или неприменимо), и концепция «органического движения» может поразить современного читателя своей странностью, она, тем не менее, является характерной чертой многих основных работ древности – «Тимея» Платона особенно.
Здесь также можно наблюдать, что при выражении степеней этой небольшой части планетарной структуры Фи-серии третьими, наборы [3,6,8]  [4,8.!2] и [6,12,18] также очевидны – наборы, которые могут рассматриваться или могут не рассматриваться дальше, по отношению к другим пассажам Платона, и т.д.
Дело в том, что до этого момента мы лишь скользнули по поверхности, и впереди  все еще остается много ассимиляций и разъяснений. Для этого, однако, существует множество потенциально соответствующих материалов, хотя их происхождение остается неясным.
Наконец, хотя не существует планеты как таковой, в положении, которое соотносится с периодом Фи³ (с современной точки зрения эта область представлена Пробелом Марса-Юпитера, или Поясом Астероидов),  соответствующее среднее расстояние в планетарной структуре Фи-серии является фундаментальной постоянной Фи^3[/sup[/i]] (у автора в тексте стоит Фи², что похоже на ошибку). Более того, та же самая фундаментальная постоянная является также обратной скоростью (Vi)   синодического цикла Юпитера-Сатурна, которая (как мы также увидим в дальнейших разделах) снова, оказывается, будет иметь определенное значение.

[tilimili]

D 2.3. Обратная скорости и угловой момент
__________
Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
__________

На данный момент, читатель должен был бы понимать, что обратная скорость совместно с соотношением Период-Расстояние-Скорость: Т² = R³ = Vr ^-6 дает значительно больше, чем просто математическое удобство. Действительно, соответствующее соотношение Период-Расстояние-Обратная скорость: Т² = R³ = Vi⁶ позволяет Vi играть основную роль в подсчете планетарного углового момента (L).  Его краткое описание  Джеффри Вагнером дано ниже:

«Наибольший угловой момент в планетах, а не в Солнце. Это потому, что массивное Солнце вращается очень медленно, тогда как планеты менее массивные, но  более далекие, достаточно быстро движутся по своим орбитам, так что их угловой момент больше. Это особенно верно для газовых гигантов (угловой момент – это количество для вращающихся или оборачивающихся объектов, являющееся чем-то аналогичным моменту для объектов, движущихся по прямой линии). Угловой момент (L), для объектов, движущихся по орбите, определяется выражением L=mav, где m – это масса объекта, а – это его полуось, и v- средняя орбитальная скорость. Для вращающихся объектов угловой момент определяется по выражению L=Cmr2w, где C – это коэффициент инерции момента объекта, m – это его масса, r – это радиус, и w – скорость вращения в радианах в секунду. (Таблица 29.1. перечисляет угловые моменты различных объектов солнечной системы). Другая важная характеристика солнечной системы включает физические свойства различных объектов. Планеты различаются по составу,  и определяющим фактором является расстояние до Солнца. Внутренние, или планеты земной группы, твердые или металлические, внешние газовые гиганты в основном из водорода и гелия, и внешний Плутон – ледяной. Планеты и их спутники напоминают миниатюрные солнечные системы, и большинство орбит спутников аккуратно располагаются в экваториальной плоскости их планет».(Jeffrey K. Wagner; Chap. 29. Constraints on Solar System Formation in Introduction to the Solar System, Holt, Rinehart & Winston, Orlando 1991:426).

Следовательно, угловой момент – это, по существу, произведение массы, среднего расстояния и средней скорости. Однако, так как соотношение Периода-Расстояния-Скорости  составляет Т²=R³=Vi⁶  выражение L=mav может быть выражено в форме  m х Vi² x Vr, которое дальше сокращается до просто m х Vi

Угловой момент:  L = m Vi

Угловой момент часто выражен в безразмерных единицах, но для сравнения и общих целей он также может быть подсчитан по отношению к единице, с Землей в качестве точки отсчета для средних периодов, средних расстояний и средних скоростей, а также планетарной массы (масса Юпитера составляет  317 88  масс Земли, и т.д.). Более того,  все еще придерживаясь средних величин, также  возможно прямо подсчитать угловой момент для экспоненциальной планетарной структуры Фи-серии.  Таким образом, мы получаем следующее сравнение с современными оценками. В таблице, как и у Вагнера,  угловой импульс четырех планет земной группы сгруппирован вместе. Плутон здесь опущен. Хотя незначительные, но основные различия точно такие же, как ожидались для планетарной структуры Фи-серии. Как показано на рисунке 6с, то есть:

Таблица 6g. Угловой момент Солнечной Системы в процентах. Экспоненциальная структура Фи-серии и Современная Солнечная Система 

Рисунок 6c. Угловой момент: 1 – Вагнер, 1991; 2 – Фи-серия; 3 – Современные данные.

Как показано в таблице 6g, процентные оценки общего углового момента, которым обладает каждая планета Солнечной Системы, немного отличаются от современных оценок, данных Джефри Вагнером (1991,426), и также равенство mVi немного меньше углового момента для Урана (последний теоретически ближе к Солнцу), и, соответственно, больше для Нептуна (теоретически более отдаленного).
Мы вернемся к угловому моменту в Солнечной Системе и планетарной структуре Фи-серии в более поздних разделах; Основное, что нужно отметить в настоящее время, это практическая ценность обратной скорости самой по себе.