Читаем вместе on-line

[tilimili]

Предыдущие обсуждения, касающиеся общих алхимических/числовых элементов в различных работах, таких как «Государство» Платона, относительно современной алхимической работе, в случае с древними источниками, в Aesch-Mezareh, предполагает, что основополагающая структура является более сложной и широкой, чем предполагалось ранее.
В настоящем разделе мы неизбежно отклонились от средневековья и понимания Ибн Рушда, чтобы слегка прикоснуться  к гораздо более ранним работам Аристотеля, Платона и Пифагора.
Поступая так, однако, мы должны были исходить из арабских текстов, переведенных  сначала на латынь, потом через средневековый французский к английской версии «Le livre du ciel et du monde» Орема/
В свете понимания, представленного Ибн Рушдом, теперь кажется вероятным, что лучшими источники для дальнейшего исследования будут сохранившихся арабские работы сами по себе, вместе с их проницательными комментариями и выдержками.
В настоящее время остается неизбежным, что мы (на Западе, по крайней мере), сталкиваются, по существу, с комментариями к комментариям, множественными переводами, и, возможно, даже интересами отдельных групп на этом пути.
К этому также можно добавить, что ученые даже с самыми благими намерениями, вне контекста и с комментариями без понимания, все еще могут создать читабельное, но довольно бессмысленное отражение древней мудрости.
Кроме того, должен быть еще рассмотрен вопрос о происхождении первоисточников и разрешены дальнейшие сложности, связанные с «Алхимией». И последнее не так просто, как может показаться, как в более ранних, так и в более современных текстах, потому что совершенно очевидно, что алхимия почти наверняка не касается фактического превращения неблагородных металлов в золото. На самом деле, как описано более подробно в последующих разделах и очень кратко выше, эта тема, похоже, имеет гораздо больше общего со сложностями Золотого сечения в нашем текущем астрономическом контексте, чем чем-либо другим.
Вопросы не становятся сколько-нибудь проще, при их понимании мы еще не обсуждали цвета, количества, качества, гармонию, четыре элемента, два треугольника, пять твердых тел, или подробности технического образования «Мировой Души", описанной в «Тимее» Платона. Более того, мы еще должны понять что означает «Форма, Материя, и Восприимчивость (Познаваемость)» и смежные вопросы, такие как "Диагональ Диагонали (Statesman , 266A-267c), или «Первый из Единств (Единиц)» (Плутарх,  De Anim Procreat ) и т.д.
В условиях таких трудностей, вполне возможно, что Джорджио де Сантильяна и Герта фон Дехенд по существу правы, когда они пришли к выводу в конце  «Мельницы Гамлета» (Gambit, Бостон, 1969:348), что:

«ничего не осталось от древних знаний, кроме реликвий, фрагментов и намеков, которые пережили невероятное истирание веков. Часть потерянного сокровища может быть восстановлена  с помощью археологии, часть этого – астрономия Майа, например - может быть восстановлена путем чисто математической изобретательности, но система как целое может лежать за всеми гипотезами, так как созидающие, организующие умы, которые создали ее, исчезли навсегда.

Однако, в  нашей нынешней ситуации у нас есть детальная математическая структура, которая служит основой для следующего этапа, должным образом дополненная руководством Гермеса  Трисмегиста.
Тем не менее, мы не только должны «отделить Землю от Огня», как указывает последний, но также «отделить Воду от Земли», прежде чем мы сможем по достоинству оценить относительную сложность доктрины «Тимея» Платона в наших современных условиях.
И, как будет показано в следующем разделе, на этом пути существуют дальнейшие усложнения и расширения

REFERENCES AND RELATED WORKS
Brumbaugh, R.S. Plato's Mathematical Imagination, Indiana University Press, Bloomington, 1977: 284.
Burges, G. The Works of Plato, Vol VI. (Incl. Timeus the Locrian) George Bell & Sons, London, 1876.
Chadwick, H. Boethius: The Consolation of Music, Logic, Theology and Philosophy, Clarendon Press, Oxford, 1981.
Cornford, F. M. Plato's Cosmology The Timeus of Plato, Bobbs-Merrill, Indianapolis, 1975. Plato's Theory of Knowledg, Routledge & Kega Paul, London, 1934.
Spira Solaris and the Middle Ages
http://www.spirasolaris.ca/sbb4d2.html[14.12.2011 13:20:00]
Crosby, H. L. Thomas Bradwardine. His Tractus de Proportionibus. Its significance for the development of
Mathematical Physics (University of Wisconsin Press, Madison 1955.
Drake, S. "Medieval ratio theory vs compound medicines in the origins of Bradwardine's rule,"ISIS Vol. 64 No. 221,
1973: 67-77.
Davies, J. L. and D. J. Vaughan, The Works of Plato, Vol. II, The Republic, The Nottingham Society, New York.
"Bradwardine's function, mediate denomination, and multiple continua," Physis - Riv. Internaz. Storia
Sci. 12 (1) 1970: 51-68.
Dobbs, B.J.T. The Foundations of Newton's Alchemy or: The Hunting of the Green Lion, Cambridge University Press,
Cambridge 1975.
Dolnikowski, E.W, Thomas Bradwardine : a view of time and a vision of eternity in fourteenth- century thought,
Leiden 1995.
Grant, E. "Part I of Nicole Oresme's Algorismus proportionum," ISIS, Vol. 56, 3, No. 185, 1965:327-341.

[tilimili]

ЧАСТЬ IVD2B. ТРОЙНОЕ ЧИСЛО

А. УПРАВЛЯЯ ВСЕМИ ВЕЩАМИ

A.1. ТРОЙНОЕ ЧИСЛО

Примечание:  В названии главы и подраздела стоит  слово Three-fold, которое имеет следующие значения:
- имеющий три части, или члена;
- в три раза больше или много;
- имеющий более одного явно разнородных аспектов или качеств.
Хорошего русского соответствия не вижу, буду переводить как "тройной"



С учетом того, что последует далее, необходимо напомнить читателю, что основанная на Фи экспоненциальная планетарная структура, полученная и обсуждаемая с I по IV  раздел, вытекает исключительно из отказа от «закона» Боде и, как следствие, необходимости разработки более реалистичного подхода к структуре Солнечной системы.
Проще говоря, результатом математической задачи, касающейся средних планетарных периодов стало окончательное определение постоянной линейности (k) из квадратного уравнения  k ² - k - 1 = 0 .  Таким образом, необходимая постоянная для периодов (планетарных и синодических) оказалась Золотым сечением  Фи= 1,6180339887949 . Кроме того, как следствие примененной методологии, окончательная экспоненциальная планетарная структура была, в свою очередь неизбежно основана на большей (хотя и тесно связанной) постоянной Фи ² = 2,6180339887949 .
Это определение, фактически  было прямым результатом работы со Временем,  прежде, чем с Расстоянием, и последним, в свою очередь, прежде, чем со Скоростью, хотя, как мы видели, в любом случае, все три параметра позже были объединены в конечной планетарной структуре.
По окончании последней, однако, стало очевидно, из различных философских трудов и намеков, что первоначальный акцент на Времени, то есть периодах обращения, - в определенной степени, по крайней мере, - уже присутствовал в древних произведениях (см. ниже).
Следовательно, а также как рассматривалось в предыдущих разделах, то, что следует далее, это естественный поиск различных смежных тем, которые существовали до нас. Поэтому, в основном, это поиск подобия, и мы надеемся, дальнейшего просвещения.
При этом, однако, степень понимания, достигнутого в прежние времена, по многим причинам трудно оценить. Но если Спира Солярис и ее неотъемлемые параметры в любом случае являются основополагающими чертами в определенных философских работах, то должна быть возможность сосредоточиться на рассматриваемом вопросе с конкретными числовыми значениями и математическими концепциями уже по месту. Поэтому, хотя Платон, как в «Послезаконии», так и в «Тимее»   уделяет особое внимание предположению, что существует небольшая вероятность глубокого понимания без длительных и конкретные инструкций:

«Так много, тогда, для нашей программы как целого. Но в довершение ко всему, мы должны перейти к генерации вещей божественных, самому справедливому и самому священному спектаклю, который Бог уготовил человеческому глазу. И поверьте мне, ни один человек никогда не увидит этот спектакль без исследований, которые мы описали, и поэтому сможет похвастаться, что он выиграл его легким путем. Более того, во всех наших заседаниях для изучения, мы должны соотносить единичный факт с его родом. Есть вопросы, которые следует задать, и ошибочные тезисы должны быть опровергнуты. Мы можем действительно сказать, что это только первое испытание, и лучшее, которое может быть у человека. Так как для испытаний, которые открыто преподносятся как такие, но таковыми не являются, не существует труда столь бесплодно выброшенного, какой потрачен на них. Мы также должны осознать, точность периодических периодов, и точность, с которой они завершают различные небесные движения, и именно здесь верующие в нашу доктрину, что душа как старше, так и более божественна, чем тело, по достоинству оценят красоту и справедливость выражения, что «все вещи наполнены богами», и что мы никогда не были оставлены без внимания по забывчивости или невнимательности высших сил.
По всем таким вопросам должно быть сделано одно замечание. Если человек усвоил несколько вопросов правильно, выгода, извлекаемая тем, кто, таким образом, выучил свой урок правильно, действительно велика. Если он не может, лучшим способом будет взывать к Богу. 
В настоящее время правильный путь таков – такое множество объяснений неизбежно.
Для человека, который проводит свои исследования надлежащим образом, все геометрические построения, все системы чисел, все, должным образом созданные мелодичные прогрессии, единая организованная схема всех небесных обращений, должны раскрыть себя сами, и они себя раскроют, если, как я говорю, человек проводит свои исследования правильно, и его мысленным взор устремлен к их единственной цели.
Как такой человек размышляет, он получит откровения единой связи природного взаимодействия между всеми этими проблемами. Если такие вопросы решаются в любом другом духе, человеку, как я говорю, нужно будет призывать свое счастье. Мы можем оставаться уверенными, что без такой подготовки счастье не появится в любом обществе. Это метод, это пища, требуются эти исследования, тяжело или легко, это путь, которым мы должны идти». ( Epinomis («Послезаконие») , 989d-992a, переводчик А. Тейлор. Сборник диалогов Платона , Princeton University Press, Princeton, 1982:1530-31).

«... По этим причинам и из таких составляющих, четырех по количеству, тело Вселенной был приведено в бытие, вступая в согласие с помощью пропорции, и с этим оно приобрело Дружбу, так что приходя к единству с самим собой оно стало неразрывно любым другим, сохраняемое тем, кто связал его вместе» . («Тимей», 31b, 32c,космологии Платона: Тимей Платона ., Trans Фрэнсис Макдональд Корнфорд, Bobbs-Merrill, Индианаполис, 1975:44)

[tilimili]

Возможно, параметры и структура Спира Солярис могли бы обеспечить не только необходимый элемент "удачи", но также некоторую степень понимания, касающуюся «связи».
Конечно, существует достаточно параметров и связанных с ним понятий, доступных как в прошлом и настоящем, как  те, что уже  были затронуты в последних двух разделах. Тем не менее, было бы все еще оптимистично ожидать, что как применение, так и точные детали будут очевидны сразу.
На самом деле - на манер Орфея, Пифагора и Платона -  вполне возможно, что  определенные связанные вопросы действительно: «обнародованы мистически и символически (во-первых), во-вторых, загадочно и с помощью образов, и научно, в-третьих». Или, как  заметил Томас Тейлор: «соответственно обычаям самых древних философов (информация) была представлена обзорно, и таким образом, чтобы быть недоступной для обывателя».

Например, хотя и не особо «мистически» или «символически», рассмотрим следующее «поэтическое» вкрапление средневекового ученого Николы Орема, ссылающегося на Аристотеля и «тройное число», согласно Овидию:

«Сказал Аристотель, царь  философов и неизменный друг истины:
Все вещи есть три, Тройное число присутствует  во всех вещах повсюду ...

Не мы сами открыли это число, но скорее природа учит нас этому».

Здесь, несмотря на исторические предубеждения, несомненно, можно предположить, что из всех чисел  для получения такого названия однозначно подходит Золотое сечение, хотя это и не единственный связанный выбор в этом отношении.
В равной степени можно было бы применить обратную  базовую постоянную Спира Солярис, то есть , Фи  ^-2 = 0,381966011 , которая, как мы увидим в последующих разделах, может представлять многие вещи, в том числе «пятый элемент» (Эфир); «Венеру философскую»  для некоторых алхимиков; в том же алхимическом понимании сэр Исаак Ньютон метко применил название «Квинтэссенция»; а также ключевой параметр, связанный с филлотаксисом, что возвращает нас к Овидию и связи с Природой.
С другой стороны, в «Халдейских Оракулах» есть более точная выражение, в котором "Все вещи  есть Три» Овидия  расширены за счет включения деятельности разума («так как Разум Отца сказал, что все вещи можно разрезать на три, Контролируя все вещи разумом»).  Это обнаруживается в большом отрывке, который также легко объясним в настоящем контексте. с тонко замаскированной ссылкой на Золотое сечение, и не в последнюю очередь, «Фонтан из Фонтанов, и все Фонтаны, Матрицу, содержащую все  вещи»:

Монада увеличена, что порождает Два.
Ибо Дуада находится рядом с ней, и блистает  Разумными (Интеллектуальными) Разрезами.
И управляет всеми вещами, и приводит в порядок все вещи, не упорядоченные.
Ибо в целом Мире сияющая Триада, над которой господствует  Монада.
Этот Порядок - начало всего Раздела,
так как Разум Отца сказал, что все вещи можно разрезать на три,
Контролируя все вещи разумом.
........
Центр, из которого все (линии), в любую сторону равны,
ибо отцовской Разум посеял Символы по всему Миру.
...........
Фонтан из  Фонтанов, и все Фонтаны.
Матрица, содержащая все вещи…

[tilimili]

Содержание  вышеприведенного отрывка из «Халдейских оракулов» может удивить некоторых читателей, но, тем не менее, историческая сторона вопроса не настолько сложна, хотя очевидно, не в порядке. 
Серия Фибоначчи (и соответственно, Золотое сечение) уже давно ассоциировались с естественным ростом с времен Фибоначчи до современников, благодаря Кеплеру, а позже усилиям целого множества исследователей, таких, о которых ясно свидетельствует многословная "Библиография"  Р.С. Арчибальда (http://www.spirasolaris.ca/rcarchibald.html) к «Динамической симметрии» Джея Хембриджа ( 1920:146-156) . Хотя "человеку свойственно ошибаться", в списке последнего явно отсутствует вклад Самуэля Коулмана («Гармоническое единство природы», 1911), и вклад Луиса Агасси  ("Эссе о классификации" , 1857), но больше об этом отсутствии позже.
Попутно, правда, уместно отметить, что утверждение, что серия Фибоначчи  была открыта только в начале второго тысячелетия, безусловно неверно - дважды невежественное утверждение (в понимании Томаса Тейлора), которое в любом случае было по большей части развенчано Д'Арси Вентвортом Томпсоном  много лет назад следующим образом: 

«Греки были знакомы с серией  2, 3:5, 7:12, 17, и т.д., которая сводится к 2^1/2, как  другие (например, серия Фибоначчи) сводится к Золотому сечению, и  две серии так тесно связаны, что кажется невозможным, что греки могли бы знать одну и оставались в неведении относительно другой». (cэр Д'Арси Вентворт Томпсон, «О росте формы», New York 1992:923,   напечатано по изданию 1942 года).

Последний также отметил, однако, что:

«Мы не должны предполагать, что числа Фибоначчи будут иметь какое-либо исключительное отношение к Золотому Сечению, потому что арифметика учит нас, что, начиная с каких бы то ни было любых двух чисел, последовательным их суммированием мы придем к одной из бесчисленных числовых серий, чьи отношения друг к другу сводятся к Золотому Сечению» ((сэр Д'Арси Вентворт Томпсон, «О росте Формы», Нью-Йорк, 1992:933; напечатано по изданию 1942 года).

Это достаточно верно, но это также прибавляет вес его предыдущему наблюдению.

Например, рассмотрим следующую пифагорейскую ссылку (или мнемонический прием, если угодно), касающийся числа 36, в объяснении В. Вин Вэсткотта:

«Плутарх в «Об Исиде и Осирисе», называет Тетрактис силой (степенью) числа 36, и на нем была самая большая клятва пифагорейской присяги, и он был выражением Мира, вследствие своей сути, составленной из первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел. Так как 1 и 3 и 5 и 7  составляют 16, прибавляя 2 и 4, и 6 и 8 получим 36. (В. Вин Вэсткотт, «Числа: их оккультная сила и мистические добродетели», Санта-Фе, 1983:114).

Просто нумерология? Элементарная математика? Возможно и то и другое, но также возможно ни то ни другое, а развитие пространственного мышления, которое может иметь или не иметь исторические прецеденты. 
В любом случае,  при складывании первых четырех  четных и  первых четырех нечетных чисел для получения 36. указанные промежуточные значения также легко выстраиваются для дальнейшего использования.
Здесь я оставлю читателю рассмотрение того, как  в результате выстаиваются числа, сложенные вертикально в серии Фибоначчи и Лукаса с Фи, также, как предельное соотношение в других трех столбцах.
Все это подтверждает точку  зрения сэра  д'Арси Вентворта Томпсона о множестве дорог и окольных путей, которые приводят к Золотому сечению, и в то же время также воспроизводят исторические претензии, касающиеся выдающегося «открытия» Фибоначчи, серии еще менее логичной, чем уже существующие.
И здесь можно отметить, что мы даже не учитывали при рассмотрении основного вопроса, что многие указатели, направляющие и стрелки, ведут к вездесущему Золотому Сечению в  самой Природе.   

[tilimili]

А.2. Тройное число и «Идеальный» угол расхождения (дивергенции)

В то время как постоянная Фи ² обеспечивает фундаментальную основу для экспоненциальной планетарной структуры, ее важность по отношению к естественному росту и филлотаксису давно известна, особенно по отношению к основанному на Фи «углу расхождения», наряду с его возможным отношением к «области чистой физики» (Кук, 1914:414).  Более современное краткое изложение и описание последнего аспекта,  недавно (в 1995 году) представил математик Ян Стюарт:

«Наиболее впечатляющее понимание все же исходит от некоторых самых последних работ французских математических физиков Стефана Дуади и Ива Коудера. Они разработали теорию динамики роста растений, и использовали компьютерные модели и лабораторные эксперименты, чтобы показать, что рост составляет определенную часть  модели Фибоначчи.
Основная идея не нова. Если вы посмотрите на верхушку ростка растения, вы можете обнаружить кусочки и участки, из которых развиваются все основные признаки растения: листья, лепестки, чашелистики, или что-то еще. В центре верхушки круговая область ткани без специальных функций, которая называется вершиной (апексом). Вокруг апекса, один за другим, небольшой формы кусочки, называемые зачатками. Каждый зачаток мигрирует в направлении от вершины, или, более точно, апекс (вершина) вырастет из бугорка, и в конечном итоге бугорок превращается в лист, лепесток, и тому подобное. Более того, общая организация этих признаков заложена в самом начале, как форма зачатков. Поэтому, в основном, все, что вам нужно сделать, это объяснить, почему вы видите спиральные формы и числа Фибоначчи в зачатках.
Первый шаг состоит в том, чтобы понять, что спирали наиболее очевидные для глаза, не являются фундаментальными. Наиболее важная спираль формируется при рассмотрении зачатков в порядке их появления. Зачаток, который появляется раньше, мигрирует дальше, так что вы можете вывести порядок появления из расстояния от апекса (вершины).
То, что вы обнаружите - это то, что последовательное зачатки расположены довольно редко вдоль тугой спирали, называемой  генеративной (порождающей) спиралью. Человеческий глаз выделяет спирали Фибоначчи, потому что они образуются из зачатков, которые появляются рядом друг с другом в пространстве, но что действительно имеет значение, что это последовательность во времени.
Существенная количественная особенность - это угол между последовательными зачатками. Представьте линии, проведенные от центров последовательных зачатков к центру апекса (вершины), и измеряемый между ними угол. Последовательные углы почти равны. Их  обычная величина называется углом расхождения (дивергенции). Другими словами, зачатки равномерно распределены в угловом смысле по длине генеративной спирали. Кроме того, угол расхождения, обычно очень близок к 137,5°, факт, на который впервые обратили внимание в 1837 году кристаллограф Огюст Браве и его брат Луи.
Чтобы понять, почему эта цифра значительна, возьмите два последовательных числа из ряда Фибоначчи, например, 34 и 55. Теперь найдите соответствующее частное 34/55 и умножьте его на 360°, чтобы получить 222,5°. Так как этот угол более 180°, мы должны были бы измерять эту величину в противоположном по кругу направлении, или, что эквивалентно, вычесть ее из 360 °. Результат составляет 137,5° - значение, которое наблюдали братья Браве.

[tilimili]

Соотношения последовательных чисел Фибоначчи становится все ближе и ближе к числу 0,618034.  Например, 34/55=0,6182, что уже достаточно близко. Предельная величина составляет точно (5 ^1/2 -1)/2, так называемое золотое сечение, которое часто обозначается греческой буквой фи ( F ). Природа оставила ключ к математическим детективам: угол между последовательными зачатками является «золотым углом» 360 (1 - F ) ° = 137,5 °.  
В 1907 году Г. Ван Итерсон последовал этой подсказке, и рассмотрел, что происходит, когда вы строите последовательные точки, разделенные углом 137,5°, на плотно скрученной спирали. Из-за того, как выстраиваются соседние точки, человеческий глаз выделяет два семейства взаимопроникающих спиралей, одни закручиваются по часовой стрелке, а другие - против часовой стрелки. И из-за соотношений между числами Фибоначчи и золотым сечением, количества спиралей в этих двух семействах являются последовательными числами Фибоначчи, и эти числа Фибоначчи зависят от плотности спирали.
Как это объясняет количество лепестков? По существу, вы получите один лепесток на внешней кромке каждой спирали только в одном из семейств.
Во всяком случае, все сводится к объяснению, почему последовательные зачатки разделены золотым углом, а затем следует все остальное.
Дуади и Коудер нашли динамическое объяснение золотому углу. Они построили свои идеи на важном понимании Х.Вогеля, датированном 1979 годом. Его теория снова является описательной - она концентрируется на геометрии расположения, а не на динамике, которая ее вызвала. Он провел многочисленные эксперименты, которые убедительно показали, что если последовательные зачатки расположены вдоль генеративной спирали с использованием золотого угла, они будут упакованы вместе наиболее эффективно.
Например, предположим, что вместо золотого угла, вы используете угол расхождения 90°, который точно делит 360°. [Рисунок S. пропущен]. Тогда последовательные зачатки расположены вдоль четырех радиальных линий, образуя крест. В самом деле, если вы используете угол расхождения, который является рациональным кратным 360°, вы всегда получаете систему радиальных линий. Таким образом, существует разрыв между линиями, и зачатки упакованы неэффективно.
Вывод: чтобы  эффективно заполнить пространство,  вам нужен угол расхождения, который является иррациональным кратным 360°, умножением на число, которое не является точной долей. Но какое иррациональное число?  Числа либо иррациональны, либо нет. Но, подобно равенству Джорджа Оруэлла в  повести «Скотный двор», некоторые из них более иррациональны, чем другие.
Числовым теоретикам уже давно известно, что наиболее иррациональным числом является золотое сечение.  Оно «плохо аппроксимируется» (примечание: аппроксимировать = заменять близким, приблизительно равным) рациональными числами, и если вы оцените насколько плохо, то окажется, что хуже всего. Что переворачивает аргументы с ног на голову, и означает, что золотой угол расхождения должен был бы упаковать зачатки наиболее плотно. Компьютерные эксперименты Вогеля подтвердили эти ожидания, но не доказали их с полной логической строгостью.

[tilimili]

Наиболее значимое, что сделали Дуади и Коудер,  было получение золотого угла как результата простой динамики, а не его  непосредственной обусловленности на основании эффективной упаковки. Они предположили, что последовательные элементы определенного рода представляют зачаточные формы на равноотстоящих промежутках времени где-то на краю небольшого круга, представляющего апекс (вершину), и что эти элементы затем мигрируют радиально с некоторой определенной начальной скоростью. Кроме того, они предположили, что элементы отталкиваются друг от друга, как одинаковые электрические заряды или магниты с одинаковой полярностью. Это гарантирует, что радиальное движение продолжается, и что каждый новый элемент появляется как можно дальше от своих непосредственных предшественников. Такая система будет удовлетворять критерию эффективной упаковки Вогеля, поэтому вы могли бы рассчитывать, что золотой угол проявитcя. И это происходит.
Дуади и Коудер провели эксперимент не с растениями, а с использованием кругового блюда, наполненного силиконовым маслом, помещенного в вертикальное магнитное поле. Они позволяли крошечной капле магнитной жидкости падать через постоянные промежутки времени в центр блюда. Капли были поляризованы магнитным полем и отталкивались друг от друга. Они получали новый импульс в радиальном направлении, делая магнитное поле на краю блюда сильнее, чем это было в середине. Модели, которые появлялись, зависели от того, насколько большими были интервалы между каплями. Но очень распространенной была одна модель, в которой последовательные капли ложились на спираль с углом расхождения очень близким к золотому углу, давая картину подсолнечника из переплетенных спиралей.
Дуади и Коудер также провели компьютерные расчеты, с аналогичными результатами. Используя  оба метода, они обнаружили, что угол расхождения зависит от интервала между каплями в соответствии со сложной моделью ветвления изогнутых кривых. Каждый участок кривой между последовательными изгибами соответствует определенной паре чисел спиралей. Основное ответвление очень близко к углу расхождения 137,5 °, а по нему вы в числовой последовательности одну за другой найдете все возможные пары последовательных чисел Фибоначчи. Пропуски между ветвями представляют собой «бифуркации», где динамика претерпевает значительные изменения.
Конечно, никто не предполагает, что ботаника настолько совершенна математически, как эта модель. В частности, во многих растениях, скорость появления зачатков можно ускорить или замедлить. Фактически, такие изменения часто сопровождают изменения в морфологии, скажем, становится ли данный зачаток листом или лепестком. Так что, возможно, что на сроки появления зачатков влияют гены. Но растениям не нужно, чтобы их гены рассказывали им, как размещать зачатки: это сделано динамикой. Это партнерство физики и генетики, и вам нужны обе эти науки, чтобы понять, что происходит.
Три примера из очень разных разделов науки. Каждый, по-своему, открывает глаза. Каждый случай изучает происхождение естественных чисел глубоких математических закономерностей, которые могут быть обнаружены в природных формах. И есть общая нить, даже глубокий смысл, сокрытый в них. 
Не то, чтобы природа была сложна. Нет, природа, в своей утонченной форме, проста. Однако, сама эта простота не предстает перед нами прямо. Вместо этого природа оставляет ключи к математическим детективам, чтобы ломать над ними голову. Это увлекательная игра, даже для зрителя. И она абсолютно неотразима, если вы математический Шерлок Холмс. ( Естественные числа: Нереальность математического воображения, Ян Стюарт, Нью-Йорк 1995:135-143; См. также. Числа Фибоначчи и Золотое сечение в природе - 1 и II  http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat2.html)
___________
Точка бифуркации — смена установившегося режима работы системы.
Критическое состояние системы, при котором система становится неустойчивой и возникает неопределенность: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет на новый, более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности.
____________

Здесь мы снова сталкиваемся с промежуточной парой Фибоначчи 34 и 55, которая обсуждалась и применялась в части III  по отношению к планетарным резонансам.  Но в основе всего этого, несомненно, сложные соотношения с естественным ростом, что возвращает нас к Архиту, возможно с чуть более хорошим пониманием сути вопроса, особенно придания «органического движения геометрической фигуре», т.е., как утверждалось в предыдущем разделе, это был:

«Первый, кто методично применил принципы математики к механике: кто придал органическое движение геометрической фигуре, при разделе полуцилиндра в поиске двух средних пропорциональных, для того, чтобы удвоить куб»

Но могло ли такое понимание уже существовать настолько давно? Возможно, нет, но тогда последнее наблюдение Яна Стюарта, что «природа оставляет ключи к математическим детективам, чтобы ломать над ними голову» - само по себе является наиболее древним,  так как мы уже знаем  цитату из Овидия, состоящую из двух частей: «Тройное число присутствует во всех вещах повсюду. Не мы сами открыли это число, а природа учит нас этому», и Халдейских Оракулов («так как отцовский Разум посеял Символы  по всему Миру»).

Заметка на полях (то есть, отсебятина):
1). Наименьший общий делитель для чисел 137,5 ° и 360° составляет 19800=137,5*144=360*55. То есть через 144 цикла и 55 полных кругов, новый зародыш окажется на той же радиальной линии, что и в начале цикла.
2). К этому моменту уже существующие зародыши будут располагаться на радиальных линиях через каждые 2,5° круга.
3). 137,5 ° от суточного оборота Земли = 24 часа = 1440 минут составляет 550 минут.

[tilimili]

Вначале два небольших видеоролика, как иллюстрация к предыдущему сообщению.
www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA
www.youtube.com/watch?v=MK3JAFfCQYs

А.3. Спираль Фидия

В эти современные времена кажется, что мы  берем  Фи и Фи-серию  как нечто само собой разумеющееся. И мы, возможно, неспособны в полной мере оценить, какой большой прогресс был достигнут за многие прошлые десятилетия (если не века), как показано и описано в таких работах как: «Об отношении Филлотаксиса к Механическому Закону» Артура Гарри Черча (1904);  Самуэль Коулман и Артур С. Коэн «Гармоническое единство природы», 1911 г. и «Пропорциональные формы», 1920; сэр Теодор Андреа Кук «Кривые жизни», 1914;  сэр Д'Арси Вентворт Томпсон «О росте и форме», 1917, 1942 ; и теми, кто перечислен в «Библиографии» Р.С. Арчибальда, приведенной выше.  Любопытно, что Кук также включает дополнительные детали, касающиеся названия Фи и Фи-серия от Вильяма Шулинга во Введении и Приложениях к «Кривым жизни» (1914).
Здесь  приведен диалог, включающий само «Фи», трактовку Кука  «Человека (как) Меры Всех Вещей», Естественного Роста, еще раз Идеальных Углов, и, наконец, «Спирали Фидия» г-на Марка Барра и Вильяма Шулинга:

«Г-н Марк Барр предложил г-ну Шулингу, чтобы его соотношение было бы названо Фи пропорцией по причинам, приведенным ниже.
Символ Фи (F), взятый для этой пропорции, был выбран отчасти потому, что у него есть знакомый звук для тех, кто постоянно борется с пи (отношение длины окружности к ее диаметру), а отчасти потому, что это первая буква имени Фидия, в  скульптуре которого эта пропорция очевидно преобладает, когда  измеряются расстояния между выступающими точками. Настолько часто в данном случае, что пропорция Фи может быть названа «Отношением Фидия».
Возьмите хорошо сложенного мужчину 68 дюймов в высоту, или Фи⁴.  Если мы возьмем десять дюймов  в качестве единицы измерения, расстояние от земли до пупка составляет 42 дюйма, или Фи³.  От пупка до макушки головы - 26 дюймов, или Фи² , от макушки головы до линии  его груди расстояние составляет 16 дюймов или Фи, а также от его груди до пупка - составляет 10 дюймов, или единицу измерения, или 1, что  равно Фи⁰ .
Есть много ценных свойств Фи.  Мистер Черч, например, указывая на связь спирально-организованных систем роста растений с соотношением Фибоначчи, говорит о «Фибоначчи или идеальном угле» 137° 30' 27,95". Из  того, что было сказано выше о пропорции Фи, можно увидеть, что этот идеальный угол может быть красиво и аккуратно выражен в круговом измерении, 2пи/Фи ² (или удвоенное пи (3,14), деленное на квадрат Фи).
Я оставлю мистеру Шулингу самостоятельно объяснить многих другие наиболее интересные факты, касающиеся Фи в Приложении. На данный момент достаточно сказать, что, кажется вполне вероятным получить более точные результаты для других форм естественного роста, чем серия Фибоначчи, столь превосходно использованная для ботаники А.Г.Черчем, и более точные расчеты в вопросах искусства, чем теория, опубликованная в 1876 году Теодором Фехнером в его «Дошкольной эстетике» («Vorschule дер Aesthetik»): «Я бы позволил предположить, что исследования  в ее использовании в обоих направлениях, вероятно, будут также хорошо выполнимы, потому что в математике она (серия Фибоначчи) может быть выражена биномиальными (двухчленными) коэффициентами, она также может быть использована в качестве базы, которая значительно облегчает вычисления логарифмов. В геометрии и тригонометрии ее свойства разъясняются далее в Приложении II (pp.441-447).

[tilimili]

Здесь нужно было быть добавить еще одну вещь. Для радиус-векторов логарифмической спирали в Фи-пропорции, результатом является не только спираль особо приятного характера, но есть еще одна особенность, что на любом радиус-векторе сумма расстояний между двумя последовательными кривыми спирали равна расстоянию  вдоль того же радиуса до следующей кривой (см. рис. 389). Такая  Фи спираль имеет близкое сходство с показанной в моей второй главе, полученной  раскручиванием ленты из корпуса (см. рис. 44, стр. 32).
В искусстве, с другой стороны, она должна доказать свою полезность для пропорциональных  площадей, как и для простых линейных измерений. Поскольку, как было показано выше, серия, по существу, спиральна по характеру, и, поскольку она дает Фи-пропорцию вдоль любого радиуса, она также должна была бы  предоставить формулу  для пропорции последовательных площадей или областей между радиусами. Я полагаю, что такие увеличения пространств, которые наблюдаются в различных «отсеках» раковины, показанной в разделе на рис.390, будут в пропорции Фи, и имеют непосредственное соотношение с внешней спиралью .....
Мистер Шулинг подозревает (он еще не утверждает, что было доказано), что Фи-пропорция, которая упоминалась в предыдущей главе, является выражением экономичной формы,  которая проявляется в форме зародыша человека, в форме раковин, и другими путями. Что  результатом такой экономичной формы должна  была бы быть красота, аналогично тому, как грациозность является результатом легкости или экономичности сил и усилий ....
Мистер Шулинг также говорит мне, что он строит инструмент для  автоматического рисования логарифмических спиралей, используя в качестве стандарта Фи спираль, и устанавливая условия для любой другой логарифмической спирали с точки зрения отклонения от этого стандарта. Кстати этот прибор покажет, что возможно перейти от прямой  линии к окружности через бесконечное число логарифмических спиралей». (Приложение I: «Природа и математика», сэр Теодор Андреа Кук, «Кривые жизни», 1914. Для ясности слово «Фи» было заменено соответствующим символом в описании Кука  «Человека, как меры всех вещей» ).

[tilimili]

Здесь представляет интерес «история» возникновения названия «Фи», хотя не обязательно только это, также затронут ряд других интересных вопросов. Тем не менее, вопреки Анаксагору, кажется справедливым предположить, что не все обязательно согласятся с применением Теодором Андреа Куком  числа Фи к человеческим формам, тем более, что его пример «хорошо сложенного мужчины 68 дюймов в высоту» имеет мало подобия со значительными колебаниями в обхвате и высоте, которые обычно имеют место между членами человеческой расы. Иначе говоря, это не совсем точное «Естественное» Тройное число Овидия, где постоянная Фи была бы немедленно очевидна, если  бы дело коснулось практических тестов среди населения в целом.
Гораздо лучше для этой цели подошли бы многие спиральные формы в природе, уже рассмотренные самим Куком, тем более, как могло бы показаться, они заметно представлены среди определенных раковин – «золотых», или нет. Таким образом, Кук находится на более твердой почве, с его связанными с Фи представлениями, относящимися к последним, а также другим аспектам его всестороннего анализа.  Как и Самуэль Коулман  в «Гармоническом единства природы»,  работе, которая была опубликована тремя годами ранее «Кривых жизни» Кука (1914), и которая была неизвестна Куку в ходе его работы (и наоборот).
В качестве представления обеих работ, ниже приведена часть Приложения из книги «Кривые жизни»  Теодора Андреаса Кука, опубликованной в 1914 году, которая выражает его удивление, восприятие и критику «Гармонического единства природы» Самуэля Коулмана:

«СРАЗУ при чтении доказательств в «Кривых жизни», книге Самуэля Коулмана, штат Массачусетс, под редакцией С. Артура Коэна, и опубликованной Messrs. G. P. Putnam's Sons, была направлена мне из Нью- -Йорка под названием «Гармоническое единство природы: Трактат о его отношении к пропорциональной форме».
Его предисловие, датировано 1 декабря 1911, и поэтому представляет собой очень интересный пример того, как два разума могут быть привлечены к родственным предметам, в то же время, без знания исследований друг друга, и приходят к разным заключениям из похожего набора данных.
Читатели «Поля» в 1912 году вспомнят главу в этой работе, в которой я попытался изложить определенные принципы, которые обнаруживаются в естественном росте, и  их применение к таким художественным творениям, как Парфенон и Открытая Лестница  де Блуа, иллюстрируя мою теорию большим количеством примеров из ботаники, анатомии, конхиологии и других областей естествознания.
_____
Конхиология (конхилиология) (от греческого konche, konchylion — раковина и ...логия), раздел зоологии, изучающий раковины (главным образом моллюсков)
_____

Очень много таких «иллюстраций» в его работе, которые представлены в томе мистера Коулмана до нас, от улитки или подсолнечника, до Парфенона или фасада Собора Реймса. Тем не менее, трактовка и основной результат различны. Хотя страницы мистера Коулмана и математика мистера Коэна захватывающе интересны, я осмелюсь поддержать теорию, изложенную в 1912 году в «Поле» и получившую развитие в «Кривых жизни» как более хорошую рабочую гипотезу, более хорошее «объяснение» явлений.
Название книги мистера Коулмана предлагает и воплощает контраст между его позицией и моей. Я бы почти мог назвать мою книгу «Геометрическое разнообразие природы», в противоположность книге мистера Колмана «Гармоническое единство природы».
Существует некоторая неразбериха и в его использовании слова «единство». Временами он, кажется, предполагают, что явления природы и искусства обладают общей чертой - одной особенностью - подчинения законам Природы, которые являются истиной. В других местах, и в основном, он настаивает, что эти разнообразные явления демонстрируют единство, следуя одному - и только одному закону - поскольку имеют отношение к пропорции форм. Выражение этого закона он находит в основном в «пропорции крайнего и среднего». Он считает, отклонения от этого закона незначительными, и он даже предположил, что, так как измерения Парфенона не точно соответствуют этому закону, измерения неправильные! Я считаю, наоборот, что отклонения от закона являются значительным моментом и  представляют больший интерес; что они больше рассчитаны на расширение наших знаний, чем обнаружение жесткого соответствия с законом.

[tilimili]

Опять же, его книга связана с пропорциональной формой, тогда как я думаю, что гораздо больше преимуществ связано с рассмотрением формы в соединении с ростом. Он, можно сказать, имеет дело с морфологией отдельно от физиологии, формой отдельно от функции, тогда как, по моему мнению, рассмотрения функции и роста имеют большое значение для правильного понимания формы и ее пропорции. Он предлагает объяснять сложный феномен форм жизни и красоты в искусстве, говоря, что все они согласуются с одним очень простым математическим выражением. Моя позиция, напротив, заключается в том, что феномен жизни и красоты всегда сопровождается отклонениями от любого простого математического выражения, которое мы в настоящее время можем сформулировать.
Математика, на мой взгляд, имеет наибольшую ценность как инструмент. Но, как мы увидели на предыдущих страницах, сущность живого, как прекрасного произведения искусства, в том, что оно не может быть точно определено любой простой математической формулой, как у мистера Коулмана. Я указывал в предыдущей главе, что соответствие ряда явлений взятой формуле не является важным фактором в знаниях, а лишь в удобном виде подводит итог определенной сфере исследований. По-настоящему важным является исключение. Но это не нужно воспринимать как  мое выражение презрения к закону в целом или к математике мистера Коулмана в частности. Действительно, без математического выражения в качестве ориентира, мы были бы не в состоянии принять к сведению право отклонения от нормы, и в этом смысле мистер Коулман и мистер Коэн проделали очень ценную работу. Но мистер Коулман совершает, как я думаю, фундаментальную ошибку (которая проходит через всю его доказательство), утверждая определенные математические формы  в своем уме, и затем, говоря, что они существуют в природных объектах (тем более в искусственном или архитектурном объекте), который он изучает. 
Оценивая книгу в этих строках,  нужно сказать, что наиболее ценной частью книги мистера Коулмана, было найденное приложение мистера Коэна,  в котором верно и точно изложены фактические различия между живыми организмами (или архитектурными творениями), и строго математические результаты.  Это именно те различия, которые, о которых заявляет жизнь в одном случае и красота в другом…
…Мистер Коулман показывает организованные пропорции, которые могут быть отнесены к определенным законам. Но он видит слишком много  в законах, когда он имеет в виду под этим словом самый узкий тип геометрических соотношений. Закон  пропорции крайнего и среднего выступает как доказанный принцип, и он действительно управляет приятным для глаза соотношением в некоторых архитектурных и естественных интервалах. Это старое и хорошо известное «Золотое сечение».  Но этот принцип не более чем буква в алфавите архитектуры, не говоря уже о других видах искусства. Мистер Коулман верит не только в очень широкое применение Золотого Сечения, но он хочет показать, что большая часть искусства определяется либо этим, либо другими законами, которые также легко формулируются. Для того, чтобы доказать свое утверждение, он рисует лабиринт линий поверх его архитектурных и его естественных объектов (подобные тем, что воспроизводит курица), но  единственный результат этих линий - в представлении того или иного аспекта пропорции крайнего и среднего. И хотя никто не может отрицать, что это соотношение имеет большое значение, автор пытается показать гораздо больше, чем показали Цейзинг и Фехнер.
Тем не менее, было бы несправедливо не замечать продолжение автором более древних наблюдений, и удивительно видеть увеличение числа совпадений с упорядоченной геометрией. Но когда мы анализируем геометрию, мы находим, что доказательства автора могли бы быть выражены очень простой формулировкой более широких значений пропорции крайнего и среднего. Такая упрощенная формулировка разом раскрывает невероятность величественной дороги к искусству, хотя она расширяет значение Золотого Сечения». (Кук, 1914: 431-441; приведенные рисунки Самуэля Коулмана для краткости опущены).

[tilimili]

Можно  было бы сказать, что  местами, Кук, несколько резок в своей критике, но  представляя свою точку зрения он, тем не менее, обеспечивает гласность и постоянную связь с работой Коулмана, и более того, он также, кажется, прилагает  усилия, чтобы включить более понятные диаграммы последнего. 
За этими двумя работами с их очевидным сходствами и различиями вскоре в 1917 последовала большая работа сэра Д'Арси Вентворта Томпсона «О росте и форме»  - трактат, который включал расширенный технический анализ спиральных конфигураций в целом, и в частности применительно к раковинам. Опять же, если когда-либо существовл предмет, где по отношению к структуре и форме было очевидно «Тройное число» Овидия,  то это наверняка были раковины, так как ряд исследователей появился задолго до Кука и Коулмана, которые, тем не менее отмечены в главе IX («О конхиологии»») в «Гармоническом единстве природы» (1911):

«Мистер Т.А.Кук, в своей великолепной книге «Спирали в природе и искусстве», заявляет, что: «Если  бы студент должен был бы выбрать какой-либо отдельный класс объектов с целью изучения по отношению к такому математическому и творческому искусству как архитектура, класс раковин был бы наиболее подходящим, поскольку они наводят на мысль об особом внимании к тем структурным и математическим задачам, с которыми приходится сталкиваться строителю».

Здесь нет намерения заниматься сравнительным анализом, как таковым, или  давать широкий комментарий той или иной работе, а  есть желание еще раз подчеркнуть, что нынешние подходы к трактовке таких тем осуществляются с несколько других позиций. Настолько,  что можно подойти к теме спиральных образований предварительно вооружившись множеством точных, определенных заранее спиралей. Это резко контрастирует (кроме механических устройств Вильяма Шулинга), с большинством более ранних методов, применяемых для классификации спиралей, которые встречаются в природе - все из которых обязательно требуют некоторых подробных измерений и последующего анализа.  Сложность последнего достаточно очевидна, так как естественные спирали представляют не только рост, но также включают начальные, промежуточные и конечные этапы их формирования. И хотя такие спирали могут иметь отчетливые характерные спирали и, следовательно, «характерные числа» (применительно к раковинам Кенона Мосли в 1838 году), все еще остаются отклонения, как от базовой спирали, так и от теоретически идеальной. Где тогда провести черту и отбросить изменения в данных измерений? И как справиться с тугими спиралями с  их минимальными интервалами? С другой стороны, что, если наблюдаемые изменения в определенных ситуациях имеют значение сами по себе - что, впрочем, вполне может быть?   
Этот последний вопрос, подхватил сэр Теодор Андреа Кук, который также написал в приложении к «Кривым жизни»:
 
«Если существует, а я думаю, что существует, тенденция  приобретения наутилусом (Nautilus) формы логарифмической спирали,  точно также, как у книги есть тенденция падать под действием силы тяжести, и еще нет известного примера  раковины наутилуса,  которая представляет точную логарифмическую спираль,  разумно предположить, что существуют другие действующие силы, похожие на трение или мышечную деятельность, которые вызывают это отклонение. Отклонение стимулирует нас к дальнейшему исследованию, и к вероятному или возможному открытию некоторых других законов природы, из которых, в свою очередь, будут обнаружены отклонения, что ведет к  дальнейшему расширению знаний».

[tilimili]

Если «точная» взято в качестве синонима совершенной, то Кук, несомненно, прав, даже по отношению к наутилусу, чья спираль, тем не менее, будет близким приближением  равноугольной спирали с фактором роста примерно 3 (см. следующий раздел с более точным значением). Но, тем не менее, с должной осторожностью, так как соответствие двумерных спиралей естественным объектам, является сложным вопросом, требующим точного определения.

Поэтому, с этой целью рассмотрим «Спираль Фидия», приведенную выше на рисунке 2 - точное, сгенерированное воспроизведение оригинального рисунка №389 Вильяма Шулинга, который опубликован в «Кривых жизни»  сэра Теодора Андреа Кука.  Сгенерированное  в том смысле, что это не физическая копия, но математическое воспроизведение равноугольной спирали, построенной в точном соответствии  с версией Шулинга.
При сохранении подхода и терминологии последнего, здесь можно наблюдать, что все равноугольные спирали основаны на постоянной Фи, выросшей до любой степени, будь то число, дробная часть, да и вообще любой род числа, который наиболее обоснованно можно назвать числом «Фидия».
Поэтому Спираль Фидия, хотя все еще фундаментально экспоненциальная, это просто частный случай, т.е. Фи, выросшее до первой степени (Фи ¹). Которое, конечно, является «Золотым Сечением», а также отношением 5а ниже - последнее является результатом оригинального исследования с целью определения начальной постоянной линейности для Солнечной системы, и позднее, поскольку это так произошло, также «длиной» в  проблеме Прямоугольника/Площади, описанной в предыдущих разделах. Отношение 5b -  все еще  число Фидия в указанном выше смысле – является, в свою очередь, основной  константой периода для  самой Спира Солярис:

5а и 5b

Что касается построения спирали Фидия, по крайней мере, для этой пары, мы уже знаем, основные параметры, особенно отношение 5b с его постоянным фактором роста Фиi ²  = 2,61803398874 за оборот, и связанные с ними равные углы 81,17,24,10 (81,2914357) градусов. В свою очередь, соотношение 5а имеет соответствующий фактор роста само Фи  с равными углами 85, 37,13,31 (85,6204239) градусов. Другими словами, с базовой постоянной, представленной Фи, это показатель степени, который обеспечивает изменение фактора роста и соответствующего равного угла.
Но прежде, чем продолжить дальше, может оказаться полезным упростить и стандартизировать Спираль Фидия Вильяма Шулинга, сначала удаляя диагональные  эталонные линии, и, во-вторых, прекращая вертикальные и горизонтальные линии на внешних 90-градусных точках пересечения. В любом случае представление Шулинга Спирали Фидия дает ряд преимуществ, в дополнение к точному центрированию и выравниванию, то есть перекрестные линии также служат, чтобы подчеркнуть размер постоянного роста и далее проиллюстрировать изменения в форме между разными спиралями. Например, сохранив основную ориентацию Шулинга, упрощенная Спираль Фидия (Фи ¹ с добавлением внутренних сегментов) плюс Спира Солярис (Фи ² ) в той же конфигурации, показаны ниже:

Рис. 3  Спираль Фидия и Спира Солярис

Сэр Д'Арси Вентворт Томпсон изучил относительные размеры и градусы «открытия» для широкого диапазона «Спиралей Наутилуса», начиная с небольшого фактора роста 1,1: 1 (соответствующий углу 89,08 градусов) и 21 увеличивающегося значения, заканчивая фактором роста 1000000000: 1 (соответствующий угол меньше 19 градусов). Комментируя эти результаты сэр Д'Арси Вентворт Томпсон объяснил далее:

«Мы видим, что при меньших углах очевидная форма спирали значительно изменится, и сам факт ее бытия спиралью скоро перестает быть очевидным (рис. 379, 380). Предположим, что один завиток будет дюйм в ширину, тогда, если угол спирали был 80°, следующий оборот был бы (как мы только что видели), шириной около трех дюймов, если бы она была 70°, следующий оборот был бы около десяти дюймов, и если бы это было 60°, следующий оборот был бы около четырех футов в ширину. Если угол был 28°, следующий оборот был бы полторы мили в ширину, и если бы угол был 17°, следующий был бы около 15000 миль шириной». (Сэр Д'Арси Вентворт Томпсон, «О росте и форме», Нью-Йорк 1992: полное переиздание 1942 года)

Это полезно и достаточно информативно, но изначально все еще может быть сложно понять взаимосвязь между фактором роста и равноугольной формой соответствующей спирали. Причина этого, возможно, более тонкая, чем можно было бы подумать, по крайней мере, сначала. Можно отметить, например, что внутренняя часть оригинальной Спирали Фидия  у Шулинга не начинается с нуля, но начинается на некотором расстоянии от него.
На самом деле при создании равносторонних спиралей это соображение может представлять технические проблемы, особенно со спиралями, имеющими относительно небольшие показатели и почти круговую конфигурацию (например, Фи^1/6 с фактором роста 1,083505882: 1). Опять же, если мы берем наши намеки у природы, мы также могли бы подражать строительным приоритетам паука, начиная вместо этого снаружи и стремясь внутрь, но об этом интригующем аспекте в следующем разделе. Тесно связанным с проблемой инициализации, в первую очередь, является более общий вопрос о том, как в этом контексте действительно измеряется экспоненциальный рост.
Увеличение в росте является, конечно, фиксированным соотношением, и для  отношения спирали Фидия, как мы уже знаем, составляет 1,61803398874: 1. Но сразу ли очевидно из рис.2, что это так для спирали Фидия на всем ее протяжении - сверху, снизу и во всех направлениях? Возможно нет. Что, вероятно, требуется  - это больше ясности, фактически  тот тип точности, который сэр Теодор Андреа Кук уже представил несколько раньше в «Кривых жизни». Почему же тогда его материалы представлены здесь в беспорядке? Потому что это не так просто, вот почему.
И, как читатель скоро узнает, при получении лучшего понимания равноугольных спиралей, также становится возможным оценить более полно и точно, что сэр Теодор Андреа Кук передал по пути.

[tilimili]

A.4. РАВНОУГОЛЬНАЯ СПИРАЛЬ И  ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ

То, что последует дальше, остается  несколько загадочным в настоящее время. По словам сэра Теодора Андреа Кука,  была достигнута определенная степень прогресса относительно равносторонней спирали для химических элементов, хотя небольшое осознание этого конкретного приложения сегодня, очевидно, остается, по крайней мере, в общей литературе. Тем не менее, под заглавием ИТОГИ в «Кривых жизни» Кук рассказывает (в 1914 году), что:

«В 1888 году д-р Джонстон Стони представил Королевскому обществу работу о «логарифмическом законе атомных весов», которая, однако, не была опубликована в полном объеме. Лорд Релей (Труды Королевского общества, Серия А , том LXXXV., стр. 471, 1911) ссылается на оригинальную рукопись, и приводит некоторые выдержки из нее и замечания к ней.
После многих бесплодных попыток извлечения информации из кривых, полученных путем построения атомных весов, к счастью, д-ру Стони пришла мысль использовать объемы, пропорциональные атомным весам. Когда это было сделано, полученная фигура (см. рис. 385) сразу предположила хорошо известную логарифмическую спираль, и пристальное внимание оправдало эти подозрения.
Другими словами, соотношения всех известных элементов друг к другу, можно было бы довольно точно выразить логарифмической спиралью. Если это действительно так,  из того, что уже было известно, стало очевидным, что также могло бы быть действительным то, что должно было быть обнаружено позже, и что если новые элементы были обнаружены после 1888 года, они заняли бы свои правильные места в пробелах на спиральной схеме д-ра  Джонстона Стони.
Этот удивительный процесс уже произошел с Периодической системой Менделеева с момента ее опубликования в 1869 году. И тот факт, что это также произошло в спиральной системе (которая включает в себя  систему Менделеева, и дополнительно ее подтверждает) является одним из наиболее убедительных доказательств того, что спиральная система представляет не только правильную гипотезу, но фундаментальный закон.
Общее количество элементов, известных в 1912 году, было около восьмидесяти трех. Шесть элементов были пропущены в 1888 году в диаграмме д-ра Стони, между водородом и литием. Сэр Уильям Рамсей открыл гелий в 1895 году, который заполнил один из пробелов, хотя его положение не является математически точным. Но на шестнадцатом радиусе  произошло еще более удивительное подтверждение, там, где до сих пор существовал пробел между наиболее электроотрицательными элементами (такими, как фтор, хлор, бром и йод), и наиболее электроположительными элементами (такими, как литий, натрий, калий и др.). Этот пробел был заполнен с абсолютным соответствием рядом инертных газов: аргоном, обнаруженным лордом Релеем и сэром Уильямом Рамсеем в 1894 году, и гелием, неоном, криптоном и ксеноном, открытыми сэром Уильямом Рамсеем между 1895 и 1898. Эти пять новых элементов заняли предсказанные места, что также было необходимо для серии Менделеев». (Теодор Андреа Кук, «Кривые жизни», Нью-Йорк, 1978: 413; переиздание  издания (1914)).

Хотя последняя часть в любом случае устарела, загадка касается не только тот факта, что, несмотря на их потенциальную важность, бумаги доктора Джонстона Стони «не опубликованы в полном объеме», но также в результирующей фигуре Кука (рис. 385), которая хотя неточно, видимо является «известной логарифмической спиралью» - заключение, еще более подкрепленное «пристальным вниманием», которое явно «оправдывает эти подозрения». Поэтому создается впечатление, что рассматривается совсем не просто  хорошо известная логарифмическая спираль, но что-то в целом более специфичное, что по какой-то причине все же оставалось неопределенным. На следующей странице, тем не менее, Кук возвращается  к «результирующей фигуре» доктора Джонстона Стони (т. е., упоминавшемуся выше рис 385.), чтобы продемонстрировать концепцию роста «по радиусам» следующим образом:

«В математике у нас есть наиболее гибкий и замечательно точный инструмент, с помощью которого человеческий ум может восполнить свою потребность каталогизации, маркировки,  при определении разнообразных факторов  окружающей нас жизни. В этой задаче наглядное выражение различных результатов или итогов в форме кривых является неоценимой практикой, и проблема роста или увеличения логарифмической спирали занимает, пожалуй, наиболее важное место из всех. Так как она может быть использована не только в смысле кривой роста энергии, которая колеблется от источника до внешних областей, она  также может определить рост вдоль ее радиуса».

[tilimili]

«На рис. 385, например, у нас есть определенная кривая, которая выросла из центра, который мы будем называть C, до B , и заканчивается (так, как я это нарисовал) на А.   Но у нас также есть радиусы, которые я буду называть CP , CL , CM , CN , каждый из которых разделен тремя точками, по мере того, как  кривая развивается от С до А, и вы увидите, что три точки пересечения на линии CP расположены по-разному (относительно C ) по сравнению с точками пересечения на CL , которые опять же отличаются в этом отношении от CM,  и  CM отличается от CN . Теперь, так как спиральная кривая СВА  простирается бесконечно в каждом направлении, от любой точки внутри нее, которую легче представить на А, чем на C, и поскольку может быть любое количество радиусов, то это математическое понятие воплощает в себе великую истину бесконечных градаций (переходов), что объясняется превосходной и ценной теорией бесконечных рядов. Ритмичный размер спиральной кривой по ее радиусу напрямую связан с этой теорией, как уже было отмечено Марком Барром». (Теодор Андреа Кук, «Кривые жизни»,  Нью-Йорк, 1914:414).

Рассматриваемая спираль  воспроизведена  выше так, как в первоначальном издании. Еще раз приведенная здесь версия, сгенерирована компьютером, а не скопирована.  Так как в версии ниже, которая  является увеличенной, расширенной копией самоподобной спирали, четыре радиуса Кука простираются до пересечения со спиралью, в отличие от радиусов, проходящих через нее к точкам M, L и N, в оригинале

Рисунок 385В

Эти изменения связаны с необходимостью уточнить замечания Кука о рис. 385, и дополнительными требованиями классифицировать и определять равносторонние спирали  в целом. При этом, можно понять (на одном уровне, по крайней мере), почему расширенные радиусы Кука не в том же масштабе,  как тот, что требовался для полного равноугольного расширения, т. е. они должны были бы расширяться с коэффициентом чуть меньшим, чем 3,7: 1 в каждом из взятых направлений.
Другими словами, как показано в расширенной версии (рис..385B), начиная с  точки 90 градусов,  соотношение между расстоянием M1 и M2 и расстояниями  M2 и M3  составляет примерно 3,7:1, и хотя постепенно больше по масштабу, то же постоянное соотношение также распространяется на расстояния L1 и L2 и L2 и L3 на 180 градусах, расстояниям N1 и N2 и N2 и N3 на 270 градусах, и расстояниях P1 и P2 , P2 и P3 на  360- градусной точке. В действительности то же равенство выдерживается для любого угла с той же постоянной суммой роста, которая всегда имеет место для каждого последующего оборота на 360 градусов.
Здесь читатель может вспомнить роль, которую играет равноугольный прямоугольник в конструкции Спира Солярис с соответствующим ей фактором роста 2,61803398874:
1)   в части III;
2)   а также, возможно, уже упоминавшейся более древней линии, касающейся «Центра, из которого все (линии), куда ни было равны»...
Теперь мы переходим к конкретной «хорошо известной логарифмической спирали», которая подтвердилась при дальнейшей проверке, в соответствии с текстом. Хотя в последнем абзаце было сказано, что радиусы увеличиваются за один оборот немного меньше, чем  на 3,7 к 1 , казалось бы, применимо более точное значение, в частности, фиксированное и точное соотношение: 3,699025327...  к 1 . Другими словами, кажется, что эта спираль в данном сочетании с химическими элементами либо основана точно на константах Фи и е, либо величинах, которые достаточно близки. Рис.385 и Рис.385B  фактически\ изображают равноугольную спираль Фи^е с соответствующими параметрами:

Формула 15